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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €10 000 daqui a 5 anos. Uma conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €10 0004,8% / 4n = 5
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €8 000 é pago em prestações mensais iguais durante 4 anos. A taxa de juro é de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €8 0003% / 12N = 48
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €24 000, €28 000, €14 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e retorna €13 000, €13 000, €10 000, €9 500 no final dos anos 1 a 4. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 8%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. O rendimento até o vencimento é de 3% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4%YTM = 3%n = 11
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 035 com rendimento até o vencimento de 3% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 11,4 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 100 pontos-base.
P0 = €1 035y = 3%D = 11,4Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC.
D/E = 1re = 11%rd = 7%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €15 000 000 e custo do capital próprio de 13%. Sua dívida consiste em 2 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 6%, 9 anos até o vencimento) negociados a €904 cada. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €30 000 por ano e custo variável de €20 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €32 500 por ano e custo variável de €15 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €30 000vA = €20FB = €32 500vB = €15
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €19 por unidade, com custo variável de €15 por unidade e custos fixos de €2 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 630 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €2 000p = €19v = €15orçamento = 630
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 7878 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·5 = 20
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,269 = €7 877,52
Resposta
PV = €7 877,52
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 177,1 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 8 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €177,07
Resposta
A = €177,07
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −8753 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 24 000/1,15 = 20 869,57
CF2/(1 + 0,15)2 = 28 000/1,322 = 21 172,02
CF3/(1 + 0,15)3 = 14 000/1,521 = 9 205,23
Somar
NPV = €−8 753,18
Resposta
NPV = €−8 753,18
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 20 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valor terminal das entradas
13 000·1,083 = 16 376,26
13 000·1,082 = 15 163,20
10 000·1,081 = 10 800,00
9 500·1,080 = 9 500,00
TV = 51 839,46
MIRR
MIRR = (51 839,46/25 000)1/4 − 1 = 20%
Resposta
MIRR = 20%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1093 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €20,00, i = 0,015, N = 22
Valor presente dos cupons
€20,00·(1 − 0,7207)/0,015 = €372,42
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7207 = €720,69
Preço
P = €1 093,10
Resposta
P = €1 093,10
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 920,4 €
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 11,4/1,03 = 11,07
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −11,07·(0,01) = −11,07%
P ≈ 1035·(1 − 0,1107) = €920,45
Resposta
P = €920,45
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,097 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·7%·(1 − 0,258) = 8,097%
Resposta
WACC = 8,097%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 12,2 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
30 000 + 20Q = 32 500 + 15Q
Resolver para Q
Q = (32 500 − 30 000)/(20 − 15) = 500
Resposta
Q = 500 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 20,63 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).