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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Você investe €20 000 a 7% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 19 anos.
PV = €20 000r = 7%t = 19
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €150 000 é pago em prestações mensais iguais durante 20 anos. A taxa de juro é de 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €150 0004,2% / 12N = 240
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €250 000 hoje. Ele gera €17 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 2% ao ano para sempre. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €250 000CF1 = €17 000g = 2%r = 8%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um investimento de €20 000 retorna €5 000 no final de cada ano durante 10 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €20 000CF = €5 000n = 10
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% e vence em 7 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 3,5% para 4%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 3%n = 7y1 = 3,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 6 anos e é vendido por €905. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 6P = €905
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 1 000 000 ações negociadas a €47,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €28 200 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €1,70 por ação, e os dividendos crescem 5% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €23 500 000 e custo antes dos impostos de 3%. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um produto é vendido a €35 com custo variável de €20 por unidade. Os custos fixos são €75 000 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €37 500 após os impostos?
p = €35v = €20F = €75 000T = 20%lucro após os impostos = €37 500
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 10 000 unidades por mês a €42 cada, com custo variável de €30 por unidade e custos fixos de €60 000 por mês. O custo variável aumenta €4 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 10 000p = €42v = €30 → €34F = €60 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 75621 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,07·19 = 1,33
e1,33 = 3,781
Valor futuro
FV = 20 000·3,781 = €75 620,87
Resposta
FV = €75 620,87
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 924,9 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·20 = 240
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,4323
A = 150 000·0,0035/(1 − 0,4323) = €924,86
Resposta
A = €924,86
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 33333 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 17 000/(0,08 − 0,02) = 283 333,33
NPV
NPV = 283 333,33 − 250 000 = €33 333,33
Resposta
NPV = €33 333,33
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 21,41 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−10)/i = 20 000/5 000 = 4
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 21%: 4,054
i = 22%: 3,923
IRR = 21,41%
Resposta
IRR = 21,41%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = −29,45 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€905 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Resolva numericamente
P(6%) = €950,83, P(7%) = €904,67
YTM = 6,993%
Resposta
YTM = 6,993%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,7 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·10% + 0,25·6%·(1 − 0,2) = 8,7%
Resposta
WACC = 8,7%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,565 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
37 500/(1 − 0,2) = €46 875
Unidades necessárias
Q = (75 000 + 46 875)/15 = 8 125
Resposta
Q = 8 125 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 15000 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).