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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €8 000 a uma taxa nominal de 4,8 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 3 anos.
PV = €8 0004,8% / 4n = 3
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €300 no fim de cada mês durante 11 anos. A conta rende 5,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €3005,4% / 12N = 132
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €40 000 hoje e retorna €14 000, €15 500, €13 000, €15 000, €16 500, €9 500 no final dos anos 1 a 6. O custo de capital é 8%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €50 000 e devolve €37 000, €34 500, €18 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 37 000CF2 = 34 500CF3 = 18 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 10 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 6%) quando seu rendimento até o vencimento é 2,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 4%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 10y0 = 2,5%y1 = 4%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 9 anos e é vendido por €1 070. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 9P = €1 070
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €59,50 cada e 20 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.
β = 1,1rf = 2,5%rm = 7%rd = 7%T = 20%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto é vendido a €16 com custo variável de €6 por unidade. Os custos fixos são €40 000 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €16 000 após os impostos?
p = €16v = €6F = €40 000T = 20%lucro após os impostos = €16 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende dois produtos. O produto A é vendido a €10 com custo variável de €5; o produto B é vendido a €35 com custo variável de €20. Eles são vendidos em um mix fixo de 2 unidades de A para cada 1 de B. Os custos fixos são €10 000 por mês. Encontre o número total de unidades Q (A e B juntos) necessário para atingir o ponto de equilíbrio.
pA = €10, vA = €5pB = €35, vB = €20A : B = 2 : 1F = €10 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 9231 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 14 000/1,08 = 12 962,96 → Σ = 12 962,96
ano 2: 15 500/1,166 = 13 288,75 → Σ = 26 251,71
ano 3: 13 000/1,26 = 10 319,82 → Σ = 36 571,53
ano 4: 15 000/1,36 = 11 025,45 → Σ = 47 596,98
Fração do último ano
DPB = 3 + 3 428,47/11 025,45 = 3,311
Resposta
DPB = 3,311 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,808 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 41,34 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(40%) = 772,59
NPV(45%) = −2 005,41
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 070 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Resolva numericamente
P(5%) = €1 071,08, P(6%) = €1 000,00
YTM = 5,015%
Resposta
YTM = 5,015%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,662 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444
WACC
WACC = 0,5556·10% + 0,4444·6%·(1 − 0,21) = 7,662%
Resposta
WACC = 7,662%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,239 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
16 000/(1 − 0,2) = €20 000
Unidades necessárias
Q = (40 000 + 20 000)/10 = 6 000
Resposta
Q = 6 000 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 1200 unidades
Ponto de equilíbrio com mix de vendas: quando os produtos são vendidos em uma proporção fixa, use a margem de contribuição média ponderada: pondere o p − v de cada produto pela sua participação em unidades. Unidades no ponto de equilíbrio = F/(margem de contribuição ponderada), divididas de novo na proporção do mix.