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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €25 000 daqui a 2 anos. Uma conta rende 3 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €25 0003% / 4n = 2
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €12 000 é pago em prestações mensais iguais durante 3 anos. A taxa de juro é de 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €12 0004,8% / 12N = 36
A = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €20 000 hoje, dura 7 anos e custa €2 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 10%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.
C0 = €20 000M = €2 000n = 7r = 10%
EAC = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €50 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €7 500 no final do ano 1 e cresce 4% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 8. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €50 000CF1 = €7 500g = 4%n = 8r = 12%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 12 anos. O rendimento até o vencimento é de 3% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 7%YTM = 3%n = 12
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 5 anos e é vendido por €920. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 5P = €920
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €38,50 cada e 20 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 0,6, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 10%. Calcule o WACC.
β = 0,6rf = 3%rm = 10%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €30 por unidade com um custo variável de €18 por unidade. Os custos fixos são de €12 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €12 000?
F = €12 000p = €30v = €18lucro = €12 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende dois produtos. O produto A é vendido a €19 com custo variável de €15; o produto B é vendido a €45 com custo variável de €25. Eles são vendidos em um mix fixo de 3 unidades de A para cada 1 de B. Os custos fixos são €6 400 por mês. Encontre o número total de unidades Q (A e B juntos) necessário para atingir o ponto de equilíbrio.
pA = €19, vA = €15pB = €45, vB = €25A : B = 3 : 1F = €6 400
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 23549 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,03/4 = 0,0075
N = 4·2 = 8
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,062 = €23 549,39
Resposta
PV = €23 549,39
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 358,6 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·3 = 36
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8661
A = 12 000·0,004/(1 − 0,8661) = €358,57
Resposta
A = €358,57
3.VAL e TIR
Resposta: EAC = 6108 €
Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.
Fator de anuidade
(1 − 1,1−7)/0,1 = 4,868
Preço de compra anualizado
20 000/4,868 = 4 108,11
EAC
EAC = 4 108,11 + 2 000 = €6 108,11
Resposta
EAC = €6 108,11
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −8070 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente da anuidade crescente
((1,04)/(1,12))8 = 0,5527
PV = 7 500/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,5527) = 41 930,43
NPV
NPV = 41 930,43 − 50 000 = −€8 069,57
Resposta
NPV = −€8 069,57
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1401 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €35,00, i = 0,015, N = 24
Valor presente dos cupons
€35,00·(1 − 0,6995)/0,015 = €701,06
Valor presente do valor de face
€1 000·0,6995 = €699,54
Preço
P = €1 400,61
Resposta
P = €1 400,61
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 8,004 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€920 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Resolva numericamente
P(8%) = €920,15, P(9%) = €883,31
YTM = 8,004%
Resposta
YTM = 8,004%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,9 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·13% + 0,5·3,5%·(1 − 0,2) = 7,9%
Resposta
WACC = 7,9%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,743 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Ponto de equilíbrio com mix de vendas: quando os produtos são vendidos em uma proporção fixa, use a margem de contribuição média ponderada: pondere o p − v de cada produto pela sua participação em unidades. Unidades no ponto de equilíbrio = F/(margem de contribuição ponderada), divididas de novo na proporção do mix.