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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €12 000 a uma taxa nominal de 4 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 7 anos.
PV = €12 0004% / 4n = 7
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €200 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 20 anos a 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
P = €200 0006% / 12N = 240
I = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €23 000, €15 000, €21 000, €12 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €50 000 e retorna €26 500, €23 500, €21 500 no final dos anos 1 a 3. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 12%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% e vence em 15 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 4% para 4,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 2%n = 15y1 = 4%y2 = 4,5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 11 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) é vendido a €1 213. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 3 anos a um preço de resgate de €1 070. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%P = €1 213preço de resgate = €1 070resgate em 3 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €10 000 000 e dívida no valor de €2 000 000. Seu WACC é 9,05%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 28%. Encontre o custo do capital próprio re.
As ações de uma empresa têm beta de 1,4 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,5. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1. A alíquota de imposto é 25%, a taxa livre de risco 4% e o prêmio de risco de mercado 4%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Uma empresa vende 1 250 unidades a €28 cada. O custo variável é €8 por unidade e os custos fixos são €10 000. Encontre o grau de alavancagem operacional DOL nesse nível de vendas.
Q = 1 250p = €28v = €8F = €10 000
DOL =
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 1 500 unidades por mês a €29 cada, com custo variável de €25 por unidade e custos fixos de €4 800 por mês. O custo variável aumenta €1 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 1 500p = €29v = €25 → €26F = €4 800
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 15855 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 23 000/1,09 = 21 100,92
CF2/(1 + 0,09)2 = 15 000/1,188 = 12 625,20
CF3/(1 + 0,09)3 = 21 000/1,295 = 16 215,85
CF4/(1 + 0,09)4 = 12 000/1,412 = 8 501,10
Somar
NPV = €−1 556,93
Resposta
NPV = €−1 556,93
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 17,48 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valor terminal das entradas
26 500·1,122 = 33 241,60
23 500·1,121 = 26 320,00
21 500·1,120 = 21 500,00
TV = 81 061,60
MIRR
MIRR = (81 061,60/50 000)1/3 − 1 = 17,48%
Resposta
MIRR = 17,48%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = −46,12 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1213 = 70·(1 − (1 + y)−3)/y + 1070/(1 + y)3
Resolva numericamente
y = 1%: €1 244,40
y = 2%: €1 210,16
YTC = 1,915%
Resposta
YTC = 1,915%
O rendimento até o vencimento é 4,502%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 9,996 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
Parte da dívida no WACC
0,1667·6%·(1 − 0,28) = 0,72%
Custo do capital próprio
re = (9,05% − 0,72%)/0,8333 = 9,996%
Resposta
re = 9,996%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 11,13 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1,4/(1 + 0,75·0,5) = 1,018
Realavanque com o novo D/E
βL = 1,018·(1 + 0,75·1) = 1,782
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 4% + 1,782·4% = 11,13%
Resposta
re = 11,13%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: DOL = 1,667
Alavancagem operacional: os custos fixos fazem o lucro reagir mais fortemente que as vendas. O grau de alavancagem operacional DOL = margem de contribuição/lucro operacional indica que uma variação de 1% nas vendas muda o lucro em DOL %. Ele é muito alto logo acima do ponto de equilíbrio e diminui à medida que as vendas crescem.
Margem de contribuição total
CM = 1 250·(28 − 8) = €25 000
Lucro operacional
Π = 25 000 − 10 000 = €15 000
DOL
DOL = 25 000/15 000 = 1,667
Resposta
DOL = 1,667
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 2000 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).