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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €10 000 daqui a 3 anos. Uma conta rende 4 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €10 0004% / 4n = 3
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €12 000 é pago em prestações mensais iguais durante 3 anos. A taxa de juro é de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €12 0003% / 12N = 36
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €9 000, €7 000, €8 000, €7 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e devolve €7 000, €6 000, €7 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 6 000CF3 = 7 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 4 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 6%) quando seu rendimento até o vencimento é 4%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 4y0 = 4%y1 = 5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 010 com rendimento até o vencimento de 5% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 7,7 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 75 pontos-base.
P0 = €1 010y = 5%D = 7,7Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €6 000 000 e custo do capital próprio de 14%. Sua dívida consiste em 8 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 7%, 6 anos até o vencimento) negociados a €1 049 cada. A alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um produto vende-se a €55 por unidade com um custo variável de €45 por unidade. Os custos fixos são de €40 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €12 000?
F = €40 000p = €55v = €45lucro = €12 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €13 por unidade, com custo variável de €8 por unidade e custos fixos de €10 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 3 000 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €10 000p = €13v = €8orçamento = 3 000
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 8874 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·3 = 12
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,127 = €8 874,49
Resposta
PV = €8 874,49
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 349 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·3 = 36
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,914
A = 12 000·0,0025/(1 − 0,914) = €348,97
Resposta
A = €348,97
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 3759 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 9 000/1,12 = 8 035,71
CF2/(1 + 0,12)2 = 7 000/1,254 = 5 580,36
CF3/(1 + 0,12)3 = 8 000/1,405 = 5 694,24
CF4/(1 + 0,12)4 = 7 000/1,574 = 4 448,63
Somar
NPV = €3 758,94
Resposta
NPV = €3 758,94
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 44,81 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(40%) = 612,24
NPV(45%) = −22,55
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 40 + 5·612,24/(612,24 − (−22,55)) = 44,82%
exato: NPV(44,81%) = 0 → IRR = 44,81%
Resposta
IRR = 44,81%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 1,364 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 7,7/1,05 = 7,333
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −7,333·(0,0075) = −5,5%
P ≈ 1010·(1 − 0,055) = €954,45
Resposta
P = €954,45
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,8 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14% + 0,5·7%·(1 − 0,2) = 9,8%
Resposta
WACC = 9,8%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,637 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).