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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €6 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 2,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 4,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €6 000g = 2,5%r = 4,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €250 000 é pago em prestações mensais iguais durante 25 anos. A taxa de juro é de 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €250 0004,8% / 12N = 300
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €32 000, €26 000, €24 000, €20 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e devolve €6 000, €4 000, €6 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 4 000CF3 = 6 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. O rendimento até o vencimento é de 3,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 7%YTM = 3,5%n = 11
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 8 anos e é vendido por €880. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 8P = €880
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €12 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €24,00 cada e 40 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 0,9, a taxa livre de risco é 1,5% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 0,9rf = 1,5%rm = 8%rd = 6%T = 20%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €25 000 por ano e custo variável de €20 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €37 500 por ano e custo variável de €15 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €25 000vA = €20FB = €37 500vB = €15
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €30 por unidade, com custo variável de €15 por unidade e custos fixos de €75 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 9 000 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €75 000p = €30v = €15orçamento = 9 000
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 300000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·25 = 300
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,3019
A = 250 000·0,004/(1 − 0,3019) = €1 432,49
Resposta
A = €1 432,49
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 4092 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 32 000/1,12 = 28 571,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 26 000/1,254 = 20 727,04
CF3/(1 + 0,12)3 = 24 000/1,405 = 17 082,73
CF4/(1 + 0,12)4 = 20 000/1,574 = 12 710,36
Somar
NPV = €4 091,56
Resposta
NPV = €4 091,56
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 27,93 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 432,00
NPV(30%) = −286,75
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 25 + 5·432,00/(432,00 − (−286,75)) = 28,01%
exato: NPV(27,93%) = 0 → IRR = 27,93%
Resposta
IRR = 27,93%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1317 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €35,00, i = 0,0175, N = 22
Valor presente dos cupons
€35,00·(1 − 0,6827)/0,0175 = €634,56
Valor presente do valor de face
€1 000·0,6827 = €682,72
Preço
P = €1 317,28
Resposta
P = €1 317,28
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 7,01 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€880 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(7%) = €880,57, P(8%) = €827,60
YTM = 7,01%
Resposta
YTM = 7,01%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,5 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·9% + 0,25·4%·(1 − 0,25) = 7,5%
Resposta
WACC = 7,5%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,689 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
25 000 + 20Q = 37 500 + 15Q
Resolver para Q
Q = (37 500 − 25 000)/(20 − 15) = 2 500
Resposta
Q = 2 500 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 44,44 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).