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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 22% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 22%m = 365
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você quer €100 000 daqui a 5 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 5,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.
FV = €100 0005,4% / 12N = 60
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €13 000, €6 000, €9 000. O custo do capital é de 6 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €80 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €16 000 no final do ano 1 e cresce 4% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 5. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €80 000CF1 = €16 000g = 4%n = 5r = 8%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 5%n = 5
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 10 anos e é vendido por €1 170. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 10P = €1 170
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €4 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 4 000 000 ações negociadas a €14,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €33 600 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €1,60 por ação, e os dividendos crescem 5% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €56 000 000 e custo antes dos impostos de 4,5%. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um produto vende-se a €22 por unidade com um custo variável de €18 por unidade. Os custos fixos são de €8 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €2 000?
F = €8 000p = €22v = €18lucro = €2 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende dois produtos. O produto A é vendido a €12 com custo variável de €8; o produto B é vendido a €30 com custo variável de €15. Eles são vendidos em um mix fixo de 4 unidades de A para cada 1 de B. Os custos fixos são €9 300 por mês. Encontre o número total de unidades Q (A e B juntos) necessário para atingir o ponto de equilíbrio.
pA = €12, vA = €8pB = €30, vB = €15A : B = 4 : 1F = €9 300
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 24,6 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,22/365 = 0,0006027
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,0006027)365 − 1 = 1,246 − 1 = 24,6%
Resposta
EAR = 24,6%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 1456 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 13 000/1,06 = 12 264,15
CF2/(1 + 0,06)2 = 6 000/1,124 = 5 339,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 9 000/1,191 = 7 556,57
Somar
NPV = €−4 839,30
Resposta
NPV = €−4 839,30
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −11213 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente da anuidade crescente
((1,04)/(1,08))5 = 0,828
PV = 16 000/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,828) = 68 786,59
NPV
NPV = 68 786,59 − 80 000 = −€11 213,41
Resposta
NPV = −€11 213,41
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 978,1 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €22,50, i = 0,025, N = 10
Valor presente dos cupons
€22,50·(1 − 0,7812)/0,025 = €196,92
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7812 = €781,20
Preço
P = €978,12
Resposta
P = €978,12
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 3,006 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·14% + 0,3333·4%·(1 − 0,25) = 10,33%
Resposta
WACC = 10,33%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,28 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo do capital próprio
D1 = 1,6·1,05 = €1,68
re = 1,68/14 + 0,05 = 17%
Valores de mercado
E = 4 000 000·€14,00 = €56 000 000
V = €112 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·17% + 0,5·4,5%·(1 − 0,21) = 10,28%
Resposta
WACC = 10,28%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 2500 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Ponto de equilíbrio com mix de vendas: quando os produtos são vendidos em uma proporção fixa, use a margem de contribuição média ponderada: pondere o p − v de cada produto pela sua participação em unidades. Unidades no ponto de equilíbrio = F/(margem de contribuição ponderada), divididas de novo na proporção do mix.