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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €1 000 no final de cada ano durante 18 anos. A taxa de juros é 6% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €1 000i = 6%n = 18
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €20 000 a 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €375 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €20 000A = €3753,6% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €14 000, €9 000, €10 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
O projeto A custa €10 000 e retorna €5 500, €4 000, €2 500 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €12 000 e retorna €3 000, €5 000, €6 500. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é de 8% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 5%YTM = 8%n = 5
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 11 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 6%) é vendido a €1 175. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 3 anos a um preço de resgate de €1 060. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%P = €1 175preço de resgate = €1 060resgate em 3 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1,5. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC.
D/E = 1,5re = 11%rd = 3%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €33,50 cada e 40 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 30%. O beta da ação é 0,6, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 9%. Calcule o WACC.
β = 0,6rf = 4%rm = 9%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €26 por unidade com um custo variável de €6 por unidade. Os custos fixos são de €50 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €20 000?
F = €50 000p = €26v = €6lucro = €20 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €27 por unidade, com custo variável de €25 por unidade e custos fixos de €2 400 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 440 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €2 400p = €27v = €25orçamento = 1 440
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 10828 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3503)/0,06 = 10,83
Valor atual
PV = 1 000·10,83 = €10 827,60
Resposta
PV = €10 827,60
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 59 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0,003/375 = 0,84
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,84)/ln(1,003) = 58,2
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
58 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 59
Resposta
N = 59 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −892 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 14 000/1,07 = 13 084,11
CF2/(1 + 0,07)2 = 9 000/1,145 = 7 860,95
CF3/(1 + 0,07)3 = 10 000/1,225 = 8 162,98
Somar
NPV = €−891,96
Resposta
NPV = €−891,96
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: r* = 4,802 %
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 500 − 2 500 = 4 000
TIR da diferença
NPVΔ(4%) = 76,70
NPVΔ(5%) = −18,57
r* = 4,802%
Resposta
r* = 4,802%
Verificação: a 4,802% os dois VPLs valem €1 061,73.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 878,3 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, i = 0,04, N = 10
Valor presente dos cupons
€25,00·(1 − 0,6756)/0,04 = €202,77
Valor presente do valor de face
€1 000·0,6756 = €675,56
Preço
P = €878,34
Resposta
P = €878,34
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTC = 1,905 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1175 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3
Resolva numericamente
y = 1%: €1 205,28
y = 2%: €1 171,89
YTC = 1,905%
Resposta
YTC = 1,905%
O rendimento até o vencimento é 4,002%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,66 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·11% + 0,6·3%·(1 − 0,3) = 5,66%
Resposta
WACC = 5,66%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,145 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 2 000 000·€33,50 = €67 000 000
D = 40 000·€1 020 = €40 800 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 4% + 0,6·5% = 7%
Pesos
V = €107 800 000, E/V = 0,6215, D/V = 0,3785
WACC
WACC = 0,6215·7% + 0,3785·3%·(1 − 0,3) = 5,145%
Resposta
WACC = 5,145%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 3500 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).