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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 15% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 15%m = 365
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €300 no fim de cada mês durante 26 anos. A conta rende 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €3006% / 12N = 312
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €30 000 hoje e retorna €10 500, €9 000, €12 500, €7 500, €11 000 no final dos anos 1 a 5. O custo de capital é 5%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um investimento de €10 000 retorna €3 500 no final de cada ano durante 3 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €10 000CF = €3 500n = 3
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 12 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 256 quando o rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 12P = €1 256YTM = 2,5%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 10 anos e é vendido por €875. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 10P = €875
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €8 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 30%. Calcule o WACC.
E = €8 000 000D = €2 000 000re = 8%rd = 7%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €5 000 000 e custo do capital próprio de 14%. Sua dívida consiste em 8 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 5 anos até o vencimento) negociados a €1 070 cada. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um produto é vendido a €25 com custo variável de €20 por unidade. Os custos fixos são €7 500 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €4 000 após os impostos?
p = €25v = €20F = €7 500T = 20%lucro após os impostos = €4 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €50 por unidade, com custo variável de €45 por unidade e custos fixos de €12 500 por ano. As vendas orçamentadas são de 3 750 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €12 500p = €50v = €45orçamento = 3 750
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 16,18 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,15/365 = 0,000411
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,000411)365 − 1 = 1,162 − 1 = 16,18%
Resposta
EAR = 16,18%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 224422 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 10 500/1,05 = 10 000,00 → Σ = 10 000,00
ano 2: 9 000/1,103 = 8 163,27 → Σ = 18 163,27
ano 3: 12 500/1,158 = 10 797,97 → Σ = 28 961,24
ano 4: 7 500/1,216 = 6 170,27 → Σ = 35 131,50
Fração do último ano
DPB = 3 + 1 038,76/6 170,27 = 3,168
Resposta
DPB = 3,168 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,84 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 2,48 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−3)/i = 10 000/3 500 = 2,857
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 2%: 2,884
i = 3%: 2,829
IRR = 2,48%
Resposta
IRR = 2,48%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 4,996 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,025)−12 = €743,56
Cupom
C = (1256 − 743,56)/10,26 = €49,96
Taxa de cupom
c = 49,96/1000 = 4,996%
Resposta
c = 4,996%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 10,04 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€875 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Resolva numericamente
P(10%) = €877,11, P(11%) = €823,32
YTM = 10,04%
Resposta
YTM = 10,04%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,38 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·8% + 0,2·7%·(1 − 0,3) = 7,38%
Resposta
WACC = 7,38%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,343 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
4 000/(1 − 0,2) = €5 000
Unidades necessárias
Q = (7 500 + 5 000)/5 = 2 500
Resposta
Q = 2 500 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 33,33 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).