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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Você investe €2 000 a 3% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 10 anos.
PV = €2 000r = 3%t = 10
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €10 000 a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €125 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €10 000A = €1252,4% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €100 000 hoje. Ele gera €5 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 9%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €5 000g = 3%r = 9%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €25 000 e devolve €10 000, €12 500, €10 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 10 000CF2 = 12 500CF3 = 10 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% e vence em 7 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 2,5% para 4%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 4,5%n = 7y1 = 2,5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 8 anos e é vendido por €1 065. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 8P = €1 065
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €8 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €47,50 cada e 5 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 0,6, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 9%. Calcule o WACC.
β = 0,6rf = 2,5%rm = 9%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €30 000 por ano e custo variável de €20 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €46 000 por ano e custo variável de €16 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €30 000vA = €20FB = €46 000vB = €16
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €57 por unidade, com custo variável de €45 por unidade e custos fixos de €9 600 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 280 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €9 600p = €57v = €45orçamento = 1 280
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 2700 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,03·10 = 0,3
e0,3 = 1,35
Valor futuro
FV = 2 000·1,35 = €2 699,72
Resposta
FV = €2 699,72
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 88 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,002/125 = 0,84
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,84)/ln(1,002) = 87,26
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
87 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 88
Resposta
N = 88 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −16667 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 5 000/(0,09 − 0,03) = 83 333,33
NPV
NPV = 83 333,33 − 100 000 = −€16 666,67
Resposta
NPV = −€16 666,67
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 15,12 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(15%) = 51,37
NPV(20%) = −1 909,72
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 15 + 5·51,37/(51,37 − (−1 909,72)) = 15,13%
exato: NPV(15,12%) = 0 → IRR = 15,12%
Resposta
IRR = 15,12%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = −96,98 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 065 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(4%) = €1 134,65, P(5%) = €1 064,63
YTM = 4,995%
Resposta
YTM = 4,995%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,343 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·9% + 0,4286·3,5%·(1 − 0,2) = 6,343%
Resposta
WACC = 6,343%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,362 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
30 000 + 20Q = 46 000 + 16Q
Resolver para Q
Q = (46 000 − 30 000)/(20 − 16) = 4 000
Resposta
Q = 4 000 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 37,5 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).