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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €8 000 a uma taxa nominal de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 6 anos.
PV = €8 0003% / 12n = 6
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €150 no fim de cada mês durante 17 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €1502,4% / 12N = 204
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €50 000 hoje e retorna €13 500 no final de cada ano durante 5 anos. O custo de capital é 10%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €50 000 e devolve €37 500, €26 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 37 500CF2 = 26 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. O rendimento até o vencimento é de 4% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 5%YTM = 4%n = 11
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 6%n = 5YTM = 5%
D = anos
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €10 000 000 e dívida no valor de €5 000 000. Seu WACC é 8,7%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €5 000 000 e custo do capital próprio de 10%. Sua dívida consiste em 5 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 6 anos até o vencimento) negociados a €1 054 cada. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um produto é vendido a €60 com custo variável de €45 por unidade. Os custos fixos são €15 000 por mês e o lucro é tributado a 25%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €4 500 após os impostos?
p = €60v = €45F = €15 000T = 25%lucro após os impostos = €4 500
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende dois produtos. O produto A é vendido a €9 com custo variável de €5; o produto B é vendido a €40 com custo variável de €25. Eles são vendidos em um mix fixo de 4 unidades de A para cada 1 de B. Os custos fixos são €15 500 por mês. Encontre o número total de unidades Q (A e B juntos) necessário para atingir o ponto de equilíbrio.
pA = €9, vA = €5pB = €40, vB = €25A : B = 4 : 1F = €15 500
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 9576 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 13 500/1,1 = 12 272,73 → Σ = 12 272,73
ano 2: 13 500/1,21 = 11 157,02 → Σ = 23 429,75
ano 3: 13 500/1,331 = 10 142,75 → Σ = 33 572,50
ano 4: 13 500/1,464 = 9 220,68 → Σ = 42 793,18
ano 5: 13 500/1,611 = 8 382,44 → Σ = 51 175,62
Fração do último ano
DPB = 4 + 7 206,82/8 382,44 = 4,86
Resposta
DPB = 4,86 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,704 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 19,39 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(15%) = 2 646,50
NPV(20%) = −347,22
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, i = 0,02, N = 22
Valor presente dos cupons
€25,00·(1 − 0,6468)/0,02 = €441,45
Valor presente do valor de face
€1 000·0,6468 = €646,84
Preço
P = €1 088,29
Resposta
P = €1 088,29
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: D = 4,478 anos
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 60/1,05 = 57,14, t·PV = 57,14
t = 2: 60/1,103 = 54,42, t·PV = 108,84
t = 3: 60/1,158 = 51,83, t·PV = 155,49
t = 4: 60/1,216 = 49,36, t·PV = 197,45
t = 5: 1060/1,276 = 830,54, t·PV = 4 152,69
Duration
P = 1 043,29
D = 4 671,61/1 043,29 = 4,478
Resposta
D = 4,478 anos
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 12 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
Parte da dívida no WACC
0,3333·3%·(1 − 0,3) = 0,7%
Custo do capital próprio
re = (8,7% − 0,7%)/0,6667 = 12%
Resposta
re = 12%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,024 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
4 500/(1 − 0,25) = €6 000
Unidades necessárias
Q = (15 000 + 6 000)/15 = 1 400
Resposta
Q = 1 400 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 2500 unidades
Ponto de equilíbrio com mix de vendas: quando os produtos são vendidos em uma proporção fixa, use a margem de contribuição média ponderada: pondere o p − v de cada produto pela sua participação em unidades. Unidades no ponto de equilíbrio = F/(margem de contribuição ponderada), divididas de novo na proporção do mix.