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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €8 000 a uma taxa nominal de 5 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 7 anos.
PV = €8 0005% / 4n = 7
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €1 000 no início de cada ano durante 6 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 5% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 6? Encontre FV.
A = €1 000i = 5%n = 6
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €10 000, €9 000, €9 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €40 000 e retorna €15 500, €17 500, €20 500, €23 000 no final dos anos 1 a 4. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 6%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é de 2,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 6%YTM = 2,5%n = 6
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 5 anos e é vendido por €1 040. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 5P = €1 040
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC.
D/E = 1re = 12%rd = 4,5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
As ações de uma empresa têm beta de 1,1 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,5. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 0,6. A alíquota de imposto é 21%, a taxa livre de risco 2% e o prêmio de risco de mercado 5,5%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €15 000 por ano e custo variável de €8 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €21 000 por ano e custo variável de €5 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €15 000vA = €8FB = €21 000vB = €5
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 3 200 unidades a €6 cada, com custo variável de €4 por unidade e custos fixos de €4 000. Em que porcentagem %ΔΠ o lucro operacional varia se o volume de vendas cair 15%?
Q = 3 200p = €6v = €4F = €4 000%ΔQ = −15%
%ΔΠ = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 11328 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,05)6 − 1)/0,05 = 6,802
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 1 000·6,802·1,05 = €7 142,01
Resposta
FV = €7 142,01
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −5447 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 10 000/1,07 = 9 345,79
CF2/(1 + 0,07)2 = 9 000/1,145 = 7 860,95
CF3/(1 + 0,07)3 = 9 000/1,225 = 7 346,68
Somar
NPV = €−5 446,58
Resposta
NPV = €−5 446,58
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 19,97 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valor terminal das entradas
15 500·1,063 = 18 460,75
17 500·1,062 = 19 663,00
20 500·1,061 = 21 730,00
23 000·1,060 = 23 000,00
TV = 82 853,75
MIRR
MIRR = (82 853,75/40 000)1/4 − 1 = 19,97%
Resposta
MIRR = 19,97%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1194 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €30,00, i = 0,0125, N = 12
Valor presente dos cupons
€30,00·(1 − 0,8615)/0,0125 = €332,38
Valor presente do valor de face
€1 000·0,8615 = €861,51
Preço
P = €1 193,89
Resposta
P = €1 193,89
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 6,049 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 040 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Resolva numericamente
P(6%) = €1 042,12, P(7%) = €1 000,00
YTM = 6,049%
Resposta
YTM = 6,049%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,8 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12% + 0,5·4,5%·(1 − 0,2) = 7,8%
Resposta
WACC = 7,8%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 8,393 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1,1/(1 + 0,79·0,5) = 0,7885
Realavanque com o novo D/E
βL = 0,7885·(1 + 0,79·0,6) = 1,162
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2% + 1,162·5,5% = 8,393%
Resposta
re = 8,393%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 2000 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
15 000 + 8Q = 21 000 + 5Q
Resolver para Q
Q = (21 000 − 15 000)/(8 − 5) = 2 000
Resposta
Q = 2 000 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: %ΔΠ = −40 %
Alavancagem operacional: os custos fixos fazem o lucro reagir mais fortemente que as vendas. O grau de alavancagem operacional DOL = margem de contribuição/lucro operacional indica que uma variação de 1% nas vendas muda o lucro em DOL %. Ele é muito alto logo acima do ponto de equilíbrio e diminui à medida que as vendas crescem.