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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 17,5% ao ano, capitalizada semestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 17,5%m = 2
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €5 000 a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €225 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €5 000A = €2257,2% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €24 000, €19 000, €23 000, €16 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €40 000 e retorna €21 000, €13 000, €20 000, €17 500 no final dos anos 1 a 4. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 8%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Você compra um título com 4 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 2%) quando seu rendimento até o vencimento é 9%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 10,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 2%n = 4y0 = 9%y1 = 10,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 10 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) é vendido a €1 154. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 4 anos a um preço de resgate de €1 070. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%P = €1 154preço de resgate = €1 070resgate em 4 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €6 000 000 e dívida no valor de €4 000 000. Seu WACC é 7,68%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €5 000 000 e custo do capital próprio de 13%. Sua dívida consiste em 2 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 8 anos até o vencimento) negociados a €905 cada. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um produto vende-se a €45 por unidade com um custo variável de €25 por unidade. Os custos fixos são de €40 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €10 000?
F = €40 000p = €45v = €25lucro = €10 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €48 por unidade, com custo variável de €45 por unidade e custos fixos de €3 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 400 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €3 000p = €48v = €45orçamento = 1 400
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 18,27 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,175/2 = 0,0875
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,0875)2 − 1 = 1,183 − 1 = 18,27%
Resposta
EAR = 18,27%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 24 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,006/225 = 0,8667
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,8667)/ln(1,006) = 23,92
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
23 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 24
Resposta
N = 24 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −11886 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 24 000/1,12 = 21 428,57
CF2/(1 + 0,12)2 = 19 000/1,254 = 15 146,68
CF3/(1 + 0,12)3 = 23 000/1,405 = 16 370,95
CF4/(1 + 0,12)4 = 16 000/1,574 = 10 168,29
Somar
NPV = €−11 885,51
Resposta
NPV = €−11 885,51
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 19,19 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valor terminal das entradas
21 000·1,083 = 26 453,95
13 000·1,082 = 15 163,20
20 000·1,081 = 21 600,00
17 500·1,080 = 17 500,00
TV = 80 717,15
MIRR
MIRR = (80 717,15/40 000)1/4 − 1 = 19,19%
Resposta
MIRR = 19,19%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 4,817 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1154 = 70·(1 − (1 + y)−4)/y + 1070/(1 + y)4
Resolva numericamente
y = 4%: €1 168,73
y = 5%: €1 128,51
YTC = 4,361%
Resposta
YTC = 4,361%
O rendimento até o vencimento é 5,005%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 10 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Parte da dívida no WACC
0,4·6%·(1 − 0,3) = 1,68%
Custo do capital próprio
re = (7,68% − 1,68%)/0,6 = 10%
Resposta
re = 10%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,63 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).