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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Você investe €20 000 a 4% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 3 anos.
PV = €20 000r = 4%t = 3
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €200 000 é pago em prestações mensais iguais durante 25 anos. A taxa de juro é de 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €200 0004,2% / 12N = 300
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €9 000, €5 000, €7 000, €9 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €50 000 e devolve €37 500, €24 500, €35 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 37 500CF2 = 24 500CF3 = 35 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 8 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5,5% para 7,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 5%n = 8y1 = 5,5%y2 = 7,5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 13 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) é vendido a €1 089. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 3 anos a um preço de resgate de €1 070. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%P = €1 089preço de resgate = €1 070resgate em 3 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma ação com beta de 1,4 tem retorno exigido de 9,9%. A taxa livre de risco é 1,5%. Que retorno esperado do mercado rm o CAPM implica?
β = 1,4re = 9,9%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €39,50 cada e 10 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 0,9, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 8,5%. Calcule o WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €18 por unidade com um custo variável de €8 por unidade. Os custos fixos são de €12 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €6 000?
F = €12 000p = €18v = €8lucro = €6 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 5 000 unidades por mês a €32 cada, com custo variável de €12 por unidade e custos fixos de €40 000 por mês. O custo variável aumenta €4 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 5 000p = €32v = €12 → €16F = €40 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 22550 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,04·3 = 0,12
e0,12 = 1,127
Valor futuro
FV = 20 000·1,127 = €22 549,94
Resposta
FV = €22 549,94
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 1078 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·25 = 300
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,3506
A = 200 000·0,0035/(1 − 0,3506) = €1 077,88
Resposta
A = €1 077,88
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 4246 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 9 000/1,09 = 8 256,88
CF2/(1 + 0,09)2 = 5 000/1,188 = 4 208,40
CF3/(1 + 0,09)3 = 7 000/1,295 = 5 405,28
CF4/(1 + 0,09)4 = 9 000/1,412 = 6 375,83
Somar
NPV = €4 246,39
Resposta
NPV = €4 246,39
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 43,57 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(40%) = 2 223,03
NPV(45%) = −840,54
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1089 = 70·(1 − (1 + y)−3)/y + 1070/(1 + y)3
Resolva numericamente
y = 5%: €1 114,93
y = 6%: €1 085,50
YTC = 5,879%
Resposta
YTC = 5,879%
O rendimento até o vencimento é 5,995%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: rm = 7,5 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Prêmio de risco de mercado
rm − rf = (9,9% − 1,5%)/1,4 = 6%
Retorno do mercado
rm = 1,5% + 6% = 7,5%
Resposta
rm = 7,5%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,582 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).