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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €5 000 daqui a 4 anos. Uma conta rende 4 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €5 0004% / 4n = 4
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais durante 3 anos. A taxa de juro é de 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €20 0002,4% / 12N = 36
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €500 000 hoje. Ele gera €54 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 2% ao ano para sempre. O custo de capital é 11%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €500 000CF1 = €54 000g = 2%r = 11%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €50 000 e devolve €20 000, €36 500, €20 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 20 000CF2 = 36 500CF3 = 20 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 7 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 3% para 4,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 7%n = 7y1 = 3%y2 = 4,5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é 3,5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 4,5%n = 3YTM = 3,5%
D = anos
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €5 000 000 e dívida no valor de €3 000 000. Seu WACC é 8,06%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o custo do capital próprio re.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1,1. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 1. A alíquota de imposto é 25%, a taxa livre de risco é 2,5% e o prêmio de risco de mercado é 6%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 1,1D/E = 1T = 25%rf = 2,5%rm − rf = 6%
re = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €24 por unidade com um custo variável de €4 por unidade. Os custos fixos são de €80 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €20 000?
F = €80 000p = €24v = €4lucro = €20 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €48 por unidade, com custo variável de €45 por unidade e custos fixos de €6 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 2 600 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €6 000p = €48v = €45orçamento = 2 600
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 4264 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·4 = 16
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,173 = €4 264,11
Resposta
PV = €4 264,11
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 576,4 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·3 = 36
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,9306
A = 20 000·0,002/(1 − 0,9306) = €576,35
Resposta
A = €576,35
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 100000 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 54 000/(0,11 − 0,02) = 600 000,00
NPV
NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00
Resposta
NPV = €100 000,00
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 24,81 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(20%) = 3 877,31
NPV(25%) = −144,00
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 45/1,035 = 43,48, t·PV = 43,48
t = 2: 45/1,071 = 42,01, t·PV = 84,02
t = 3: 1045/1,109 = 942,53, t·PV = 2 827,59
Duration
P = 1 028,02
D = 2 955,08/1 028,02 = 2,875
Resposta
D = 2,875 anos
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 11,01 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €8 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
Parte da dívida no WACC
0,375·4,5%·(1 − 0,3) = 1,181%
Custo do capital próprio
re = (8,06% − 1,181%)/0,625 = 11,01%
Resposta
re = 11,01%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 14,05 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 1,1·(1 + 0,75·1) = 1,925
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,925·6% = 14,05%
Resposta
re = 14,05%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 5000 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).