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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €8 000 a uma taxa nominal de 2 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 3 anos.
PV = €8 0002% / 4n = 3
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €15 000 é pago em prestações mensais iguais durante 4 anos. A taxa de juro é de 5,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €15 0005,4% / 12N = 48
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €20 000 hoje e retorna €6 500 no final de cada ano durante 5 anos. O custo de capital é 6%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
O projeto A custa €40 000 e retorna €23 000, €16 000, €9 000 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €42 000 e retorna €12 000, €18 000, €22 000. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 vence em 15 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 062 quando o rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 15P = €1 062YTM = 2,5%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €1 080 com rendimento até o vencimento de 7% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 8,8 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 75 pontos-base.
P0 = €1 080y = 7%D = 8,8Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 1 000 000 ações a €17,50 cada e 20 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 1,5, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 10%. Calcule o WACC.
β = 1,5rf = 4%rm = 10%rd = 6%T = 28%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €30 por unidade com um custo variável de €20 por unidade. Os custos fixos são de €20 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €20 000?
F = €20 000p = €30v = €20lucro = €20 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €10 por unidade, com custo variável de €8 por unidade e custos fixos de €10 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 6 250 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €10 000p = €10v = €8orçamento = 6 250
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 8493 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·4 = 48
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8061
A = 15 000·0,0045/(1 − 0,8061) = €348,16
Resposta
A = €348,16
3.VAL e TIR
Resposta: DPB = 3,51 anos
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 6 500/1,06 = 6 132,08 → Σ = 6 132,08
ano 2: 6 500/1,124 = 5 784,98 → Σ = 11 917,05
ano 3: 6 500/1,191 = 5 457,53 → Σ = 17 374,58
ano 4: 6 500/1,262 = 5 148,61 → Σ = 22 523,19
Fração do último ano
DPB = 3 + 2 625,42/5 148,61 = 3,51
Resposta
DPB = 3,51 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,077 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: r* = 7,337 %
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −42 000 − (−40 000) = −2 000
ΔCF1 = 12 000 − 23 000 = −11 000
ΔCF2 = 18 000 − 16 000 = 2 000
ΔCF3 = 22 000 − 9 000 = 13 000
TIR da diferença
NPVΔ(7%) = 78,38
NPVΔ(8%) = −150,69
r* = 7,337%
Resposta
r* = 7,337%
Verificação: a 7,337% os dois VPLs valem €2 592,77.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 3,001 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,025)−15 = €690,47
Cupom
C = (1062 − 690,47)/12,38 = €30,01
Taxa de cupom
c = 30,01/1000 = 3,001%
Resposta
c = 3,001%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1013 €
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 8,8/1,07 = 8,224
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −8,224·(0,0075) = −6,168%
P ≈ 1080·(1 − 0,06168) = €1 013,38
Resposta
P = €1 013,38
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,983 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·10% + 0,3333·5%·(1 − 0,21) = 7,983%
Resposta
WACC = 7,983%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,459 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 1 000 000·€17,50 = €17 500 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 4% + 1,5·6% = 13%
Pesos
V = €36 700 000, E/V = 0,4768, D/V = 0,5232
WACC
WACC = 0,4768·13% + 0,5232·6%·(1 − 0,28) = 8,459%
Resposta
WACC = 8,459%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 4000 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).