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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €50 000 daqui a 9 anos. Uma conta rende 4 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €50 0004% / 4n = 9
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você quer €25 000 daqui a 18 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.
FV = €25 0007,2% / 12N = 216
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €7 000, €8 000, €12 000, €9 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €20 000 e devolve €13 000, €14 000, €13 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 14 000CF3 = 13 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. O rendimento até o vencimento é de 9% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4%YTM = 9%n = 8
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 15 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 8%) é vendido a €1 251. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 6 anos a um preço de resgate de €1 080. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%P = €1 251preço de resgate = €1 080resgate em 6 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €4 000 000, ações preferenciais no valor de €500 000 e dívida no valor de €2 000 000. O custo do capital próprio é 14%, o custo das ações preferenciais 6,5% e o custo da dívida antes dos impostos 6%. A alíquota de imposto é 28%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem 1 000 000 ações negociadas a €33,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €19 800 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,90 por ação, e os dividendos crescem 5% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €33 000 000 e custo antes dos impostos de 4%. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €20 000 por ano e custo variável de €8 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €24 500 por ano e custo variável de €5 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €20 000vA = €8FB = €24 500vB = €5
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende dois produtos. O produto A é vendido a €14 com custo variável de €8; o produto B é vendido a €30 com custo variável de €15. Eles são vendidos em um mix fixo de 3 unidades de A para cada 1 de B. Os custos fixos são €26 400 por mês. Encontre o número total de unidades Q (A e B juntos) necessário para atingir o ponto de equilíbrio.
pA = €14, vA = €8pB = €30, vB = €15A : B = 3 : 1F = €26 400
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 34946 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,04/4 = 0,01
N = 4·9 = 36
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,431 = €34 946,25
Resposta
PV = €34 946,25
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 56,81 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 7 000/1,07 = 6 542,06
CF2/(1 + 0,07)2 = 8 000/1,145 = 6 987,51
CF3/(1 + 0,07)3 = 12 000/1,225 = 9 795,57
CF4/(1 + 0,07)4 = 9 000/1,311 = 6 866,06
Somar
NPV = €191,20
Resposta
NPV = €191,20
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 44,54 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(40%) = 1 166,18
NPV(45%) = −111,53
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €20,00, i = 0,045, N = 16
Valor presente dos cupons
€20,00·(1 − 0,4945)/0,045 = €224,68
Valor presente do valor de face
€1 000·0,4945 = €494,47
Preço
P = €719,15
Resposta
P = €719,15
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTC = 4,352 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1251 = 80·(1 − (1 + y)−6)/y + 1080/(1 + y)6
Resolva numericamente
y = 4%: €1 272,91
y = 5%: €1 211,97
YTC = 4,352%
Resposta
YTC = 4,352%
O rendimento até o vencimento é 5,499%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,44 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo do capital próprio
D1 = 2,9·1,05 = €3,04
re = 3,045/33 + 0,05 = 14,23%
Valores de mercado
E = 1 000 000·€33,00 = €33 000 000
V = €66 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·14,23% + 0,5·4%·(1 − 0,21) = 8,694%
Resposta
WACC = 8,694%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 1500 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
20 000 + 8Q = 24 500 + 5Q
Resolver para Q
Q = (24 500 − 20 000)/(8 − 5) = 1 500
Resposta
Q = 1 500 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 3200 unidades
Ponto de equilíbrio com mix de vendas: quando os produtos são vendidos em uma proporção fixa, use a margem de contribuição média ponderada: pondere o p − v de cada produto pela sua participação em unidades. Unidades no ponto de equilíbrio = F/(margem de contribuição ponderada), divididas de novo na proporção do mix.