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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €5 000 a uma taxa nominal de 2 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 8 anos.
PV = €5 0002% / 4n = 8
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €250 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 30 anos a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 11? Encontre o saldo devedor B.
P = €250 0002,4% / 12N = 360k = 132
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €28 000, €36 000, €19 000, €28 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €20 000 e retorna €8 000, €9 500, €10 500 no final dos anos 1 a 3. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 12%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 10 anos. O rendimento até o vencimento é de 8% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 8%n = 10
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 6 anos e é vendido por €1 075. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 6P = €1 075
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €6 000 000, ações preferenciais no valor de €500 000 e dívida no valor de €2 000 000. O custo do capital próprio é 10%, o custo das ações preferenciais 7% e o custo da dívida antes dos impostos 4%. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem 4 000 000 ações a €49,00 cada e 20 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 6%. Calcule o WACC.
β = 1,2rf = 2%rm = 6%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto é vendido a €35 com custo variável de €25 por unidade. Os custos fixos são €50 000 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €20 000 após os impostos?
p = €35v = €25F = €50 000T = 20%lucro após os impostos = €20 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €49 por unidade, com custo variável de €45 por unidade e custos fixos de €6 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 2 700 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €6 000p = €49v = €45orçamento = 2 700
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 5865 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Prestação mensal
i = 0,002, N = 360
A = 250 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−360) = €974,85
Valor presente das prestações restantes
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 360 − 132 = 228
B = 974,9·(1 − (1 + 0,002)−228)/0,002 = €178 348,20
Resposta
B = €178 348,20
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 10017 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 28 000/1,12 = 25 000,00
CF2/(1 + 0,12)2 = 36 000/1,254 = 28 698,98
CF3/(1 + 0,12)3 = 19 000/1,405 = 13 523,82
CF4/(1 + 0,12)4 = 28 000/1,574 = 17 794,51
Somar
NPV = €10 017,31
Resposta
NPV = €10 017,31
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 15,95 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valor terminal das entradas
8 000·1,122 = 10 035,20
9 500·1,121 = 10 640,00
10 500·1,120 = 10 500,00
TV = 31 175,20
MIRR
MIRR = (31 175,20/20 000)1/3 − 1 = 15,95%
Resposta
MIRR = 15,95%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 762,2 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €22,50, i = 0,04, N = 20
Valor presente dos cupons
€22,50·(1 − 0,4564)/0,04 = €305,78
Valor presente do valor de face
€1 000·0,4564 = €456,39
Preço
P = €762,17
Resposta
P = €762,17
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 4,544 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 075 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Resolva numericamente
P(4%) = €1 104,84, P(5%) = €1 050,76
YTM = 4,544%
Resposta
YTM = 4,544%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,169 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
20 000/(1 − 0,2) = €25 000
Unidades necessárias
Q = (50 000 + 25 000)/10 = 7 500
Resposta
Q = 7 500 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 44,44 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).