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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €40 000 daqui a 5 anos. Uma conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €40 0004,8% / 12n = 5
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €25 000 é pago em prestações mensais iguais durante 6 anos. A taxa de juro é de 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €25 0002,4% / 12N = 72
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €8 000, €7 000, €14 000. O custo do capital é de 6 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €20 000 e devolve €15 000, €15 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 15 000CF2 = 15 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é de 5,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 7%YTM = 5,5%n = 4
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. Ele é vendido a €885. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 2% (2×)n = 9P = €885
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
E = €6 000 000D = €4 000 000re = 9%rd = 3%T = 25%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €12 000 000 e custo do capital próprio de 9%. Sua dívida consiste em 2 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 7%, 8 anos até o vencimento) negociados a €915 cada. A alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €20 000 por ano e custo variável de €10 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €21 000 por ano e custo variável de €8 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €20 000vA = €10FB = €21 000vB = €8
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 630 unidades por mês a €32 cada, com custo variável de €20 por unidade e custos fixos de €6 000 por mês. O custo variável aumenta €5 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 630p = €32v = €20 → €25F = €6 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 31480 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·5 = 60
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,271 = €31 480,18
Resposta
PV = €31 480,18
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 373,2 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·6 = 72
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,866
A = 25 000·0,002/(1 − 0,866) = €373,17
Resposta
A = €373,17
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −4468 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 8 000/1,06 = 7 547,17
CF2/(1 + 0,06)2 = 7 000/1,124 = 6 229,98
CF3/(1 + 0,06)3 = 14 000/1,191 = 11 754,67
Somar
NPV = €−4 468,19
Resposta
NPV = €−4 468,19
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 31,87 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(30%) = 414,20
NPV(35%) = −658,44
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 30 + 5·414,20/(414,20 − (−658,44)) = 31,93%
exato: NPV(31,87%) = 0 → IRR = 31,87%
Resposta
IRR = 31,87%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1053 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €35,00, i = 0,0275, N = 8
Valor presente dos cupons
€35,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €248,30
Valor presente do valor de face
€1 000·0,8049 = €804,91
Preço
P = €1 053,21
Resposta
P = €1 053,21
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 3,501 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €10,00, N = 18
Resolva numericamente
i = 1,75% por semestre
YTM
YTM = 2·1,75% = 3,501%
Resposta
YTM = 3,501%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,3 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
WACC
WACC = 0,6·9% + 0,4·3%·(1 − 0,25) = 6,3%
Resposta
WACC = 6,3%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,71 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
20 000 + 10Q = 21 000 + 8Q
Resolver para Q
Q = (21 000 − 20 000)/(10 − 8) = 500
Resposta
Q = 500 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 1080 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).