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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 24%m = 12
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €250 000 é pago em prestações mensais iguais durante 20 anos. A taxa de juro é de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €250 0003% / 12N = 240
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €14 000, €9 000, €8 000. O custo do capital é de 8 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e devolve €13 000, €9 500, €14 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 13 000CF2 = 9 500CF3 = 14 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 11 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 3%) quando seu rendimento até o vencimento é 6%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 11y0 = 6%y1 = 5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é 5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 6%n = 3YTM = 5%
D = anos
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €38,50 cada e 10 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 30%. O beta da ação é 1,5, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.
β = 1,5rf = 3%rm = 7%rd = 3,5%T = 30%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €35 por unidade com um custo variável de €15 por unidade. Os custos fixos são de €16 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €5 000?
F = €16 000p = €35v = €15lucro = €5 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €8 por unidade, com custo variável de €6 por unidade e custos fixos de €1 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 700 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €1 000p = €8v = €6orçamento = 700
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 26,82 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,24/12 = 0,02
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,02)12 − 1 = 1,268 − 1 = 26,82%
Resposta
EAR = 26,82%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 1386 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·20 = 240
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,5492
A = 250 000·0,0025/(1 − 0,5492) = €1 386,49
Resposta
A = €1 386,49
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −2970 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 14 000/1,08 = 12 962,96
CF2/(1 + 0,08)2 = 9 000/1,166 = 7 716,05
CF3/(1 + 0,08)3 = 8 000/1,26 = 6 350,66
Somar
NPV = €−2 970,33
Resposta
NPV = €−2 970,33
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 22,06 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(20%) = 821,76
NPV(25%) = −1 096,00
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 60/1,05 = 57,14, t·PV = 57,14
t = 2: 60/1,103 = 54,42, t·PV = 108,84
t = 3: 1060/1,158 = 915,67, t·PV = 2 747,00
Duration
P = 1 027,23
D = 2 912,99/1 027,23 = 2,836
Resposta
D = 2,836 anos
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,474 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·11% + 0,2857·3%·(1 − 0,28) = 8,474%
Resposta
WACC = 8,474%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,214 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 2 000 000·€38,50 = €77 000 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 3% + 1,5·4% = 9%
Pesos
V = €87 500 000, E/V = 0,88, D/V = 0,12
WACC
WACC = 0,88·9% + 0,12·3,5%·(1 − 0,3) = 8,214%
Resposta
WACC = 8,214%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 1050 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).