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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €3 000 a uma taxa nominal de 4 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 6 anos.
PV = €3 0004% / 4n = 6
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €500 no fim de cada mês durante 11 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €5002,4% / 12N = 132
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €60 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €29 000, €24 000, €22 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
O projeto A custa €20 000 e retorna €11 000, €7 000, €5 000 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €22 000 e retorna €5 500, €8 500, €12 000. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% em dois pagamentos semestrais e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 2%YTM = 5%n = 6
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 3% vence em 8 anos e é vendido por €1 155. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 8P = €1 155
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €5 000 000 e dívida no valor de €2 000 000. Seu WACC é 6,36%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €56,50 cada e 40 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 11%. Calcule o WACC.
β = 1,8rf = 4%rm = 11%rd = 4,5%T = 25%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto é vendido a €24 com custo variável de €20 por unidade. Os custos fixos são €8 000 por mês e o lucro é tributado a 25%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €3 000 após os impostos?
p = €24v = €20F = €8 000T = 25%lucro após os impostos = €3 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €12 por unidade, com custo variável de €4 por unidade e custos fixos de €16 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 2 600 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €16 000p = €12v = €4orçamento = 2 600
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 3809 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = r/m = 0,04/4 = 0,01
N = m·n = 4·6 = 24
Valor futuro
FV = 3 000·(1 + 0,01)24 = 3 000·1,27 = €3 809,20
Resposta
FV = €3 809,20
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 75446 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 29 000/1,09 = 26 605,50
CF2/(1 + 0,09)2 = 24 000/1,188 = 20 200,32
CF3/(1 + 0,09)3 = 22 000/1,295 = 16 988,04
Somar
NPV = €3 793,86
Resposta
NPV = €3 793,86
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: r* = 6,166 %
Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.
Diferença dos fluxos de caixa
ΔCF0 = −22 000 − (−20 000) = −2 000
ΔCF1 = 5 500 − 11 000 = −5 500
ΔCF2 = 8 500 − 7 000 = 1 500
ΔCF3 = 12 000 − 5 000 = 7 000
TIR da diferença
NPVΔ(6%) = 23,65
NPVΔ(7%) = −115,94
r* = 6,166%
Resposta
r* = 6,166%
Verificação: a 6,166% os dois VPLs valem €749,92.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 846,1 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €10,00, i = 0,025, N = 12
Valor presente dos cupons
€10,00·(1 − 0,7436)/0,025 = €102,58
Valor presente do valor de face
€1 000·0,7436 = €743,56
Preço
P = €846,13
Resposta
P = €846,13
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 0,9764 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 155 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(1%) = €1 153,03, P(1%) = €1 153,03
YTM = 0,9764%
Resposta
YTM = 0,9764%
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 8,004 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
Parte da dívida no WACC
0,2857·3%·(1 − 0,25) = 0,6429%
Custo do capital próprio
re = (6,36% − 0,6429%)/0,7143 = 8,004%
Resposta
re = 8,004%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 15,02 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
3 000/(1 − 0,25) = €4 000
Unidades necessárias
Q = (8 000 + 4 000)/4 = 3 000
Resposta
Q = 3 000 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 23,08 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).