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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €15 000 daqui a 5 anos. Uma conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €15 0004,8% / 12n = 5
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais durante 6 anos. A taxa de juro é de 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €20 0003,6% / 12N = 72
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €12 000, €10 000, €14 000. O custo do capital é de 5 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €100 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €24 000 no final do ano 1 e cresce 2% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 5. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €24 000g = 2%n = 5r = 10%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é de 2,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 7%YTM = 2,5%n = 5
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. Ele é vendido a €1 048. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3% (2×)n = 11P = €1 048
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,4. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC.
D/E = 0,4re = 11%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €27,00 cada e 40 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 0,6, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 10%. Calcule o WACC.
β = 0,6rf = 4%rm = 10%rd = 7%T = 21%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto é vendido a €35 com custo variável de €15 por unidade. Os custos fixos são €16 000 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €8 000 após os impostos?
p = €35v = €15F = €16 000T = 20%lucro após os impostos = €8 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €55 por unidade, com custo variável de €45 por unidade e custos fixos de €12 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 800 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €12 000p = €55v = €45orçamento = 1 800
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 11805 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·5 = 60
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,271 = €11 805,07
Resposta
PV = €11 805,07
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 309,3 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·6 = 72
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,806
A = 20 000·0,003/(1 − 0,806) = €309,27
Resposta
A = €309,27
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −12407 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 12 000/1,05 = 11 428,57
CF2/(1 + 0,05)2 = 10 000/1,103 = 9 070,29
CF3/(1 + 0,05)3 = 14 000/1,158 = 12 093,73
Somar
NPV = €−12 407,41
Resposta
NPV = €−12 407,41
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −5664 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente da anuidade crescente
((1,02)/(1,1))5 = 0,6855
PV = 24 000/(0,1 − 0,02)·(1 − 0,6855) = 94 335,81
NPV
NPV = 94 335,81 − 100 000 = −€5 664,19
Resposta
NPV = −€5 664,19
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1210 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €35,00, i = 0,0125, N = 10
Valor presente dos cupons
€35,00·(1 − 0,8832)/0,0125 = €327,09
Valor presente do valor de face
€1 000·0,8832 = €883,18
Preço
P = €1 210,27
Resposta
P = €1 210,27
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 2,498 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €15,00, N = 22
Resolva numericamente
i = 1,249% por semestre
YTM
YTM = 2·1,249% = 2,498%
Resposta
YTM = 2,498%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,657 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
8 000/(1 − 0,2) = €10 000
Unidades necessárias
Q = (16 000 + 10 000)/20 = 1 300
Resposta
Q = 1 300 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 33,33 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).