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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €25 000 daqui a 2 anos. Uma conta rende 2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €25 0002% / 12n = 2
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €150 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 25 anos a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
P = €150 0002,4% / 12N = 300
I = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €100 000 hoje. Ele gera €11 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 2% ao ano para sempre. O custo de capital é 11%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €11 000g = 2%r = 11%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €50 000 e devolve €23 500, €22 500, €36 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 23 500CF2 = 22 500CF3 = 36 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 3 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 8%) quando seu rendimento até o vencimento é 3%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 4,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 3y0 = 3%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 16 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 5%) é vendido a €1 181. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 6 anos a um preço de resgate de €1 050. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%P = €1 181preço de resgate = €1 050resgate em 6 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma ação com beta de 1,4 tem retorno exigido de 10,6%. A taxa livre de risco é 1,5%. Que retorno esperado do mercado rm o CAPM implica?
β = 1,4re = 10,6%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifícil
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1,2. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,5. A alíquota de imposto é 21%, a taxa livre de risco é 3% e o prêmio de risco de mercado é 4,5%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 1,2D/E = 0,5T = 21%rf = 3%rm − rf = 4,5%
re = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €24 por unidade com um custo variável de €4 por unidade. Os custos fixos são de €10 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €5 000?
F = €10 000p = €24v = €4lucro = €5 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €20 por unidade, com custo variável de €12 por unidade e custos fixos de €6 400 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 200 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €6 400p = €20v = €12orçamento = 1 200
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 24021 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,02/12 = 0,001667
N = 12·2 = 24
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,041 = €24 020,54
Resposta
PV = €24 020,54
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: I = 49619 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Prestação mensal
i = 0,002, N = 300
A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−300) = €665,40
Juros totais
I = N·A − P = 300·665,4 − 150 000 = €49 618,77
Resposta
I = €49 618,77
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 22222 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 11 000/(0,11 − 0,02) = 122 222,22
NPV
NPV = 122 222,22 − 100 000 = €22 222,22
Resposta
NPV = €22 222,22
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 27,35 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 1 888,00
NPV(30%) = −1 995,90
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1181 = 50·(1 − (1 + y)−6)/y + 1050/(1 + y)6
Resolva numericamente
y = 2%: €1 212,44
y = 3%: €1 150,22
YTC = 2,497%
Resposta
YTC = 2,497%
O rendimento até o vencimento é 3,503%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: rm = 8 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Prêmio de risco de mercado
rm − rf = (10,6% − 1,5%)/1,4 = 6,5%
Retorno do mercado
rm = 1,5% + 6,5% = 8%
Resposta
rm = 8%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 10,53 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 1,2·(1 + 0,79·0,5) = 1,674
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 3% + 1,674·4,5% = 10,53%
Resposta
re = 10,53%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 750 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).