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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €2 000 a uma taxa nominal de 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 5 anos.
PV = €2 0003,6% / 12n = 5
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €25 000 é pago em prestações mensais iguais durante 6 anos. A taxa de juro é de 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €25 0006% / 12N = 72
A = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €80 000 hoje. Ela gera €25 000 no final de cada ano durante 4 anos e depois pode ser vendida por €8 000. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €80 000CF = €25 000S = €8 000n = 4r = 8%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €50 000 e devolve €27 500, €20 500, €32 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 27 500CF2 = 20 500CF3 = 32 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 12 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €957 quando o rendimento até o vencimento é 5,5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 12P = €957YTM = 5,5%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 9 anos e é vendido por €1 150. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 9P = €1 150
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.
As ações de uma empresa têm beta de 1 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,25. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 0,6. A alíquota de imposto é 21%, a taxa livre de risco 2,5% e o prêmio de risco de mercado 6%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Um produto vende-se a €29 por unidade com um custo variável de €25 por unidade. Os custos fixos são de €16 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €5 000?
F = €16 000p = €29v = €25lucro = €5 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende dois produtos. O produto A é vendido a €20 com custo variável de €15; o produto B é vendido a €40 com custo variável de €30. Eles são vendidos em um mix fixo de 3 unidades de A para cada 1 de B. Os custos fixos são €5 000 por mês. Encontre o número total de unidades Q (A e B juntos) necessário para atingir o ponto de equilíbrio.
pA = €20, vA = €15pB = €40, vB = €30A : B = 3 : 1F = €5 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 2394 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·6 = 72
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,6983
A = 25 000·0,005/(1 − 0,6983) = €414,32
Resposta
A = €414,32
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 8683 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente dos fluxos de caixa anuais
25 000·3,312 = 82 803,17
Valor presente do valor residual
8 000/1,36 = 5 880,24
NPV
NPV = −80 000 + 82 803,17 + 5 880,24 = €8 683,41
Resposta
NPV = €8 683,41
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 27,31 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 1 760,00
NPV(30%) = −1 923,08
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,055)−12 = €525,98
Cupom
C = (957 − 525,98)/8,619 = €50,01
Taxa de cupom
c = 50,01/1000 = 5,001%
Resposta
c = 5,001%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 3,984 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 150 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Resolva numericamente
P(3%) = €1 233,58, P(4%) = €1 148,71
YTM = 3,984%
Resposta
YTM = 3,984%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €6 000 000, E/V = 0,3333, D/V = 0,6667
WACC
WACC = 0,3333·10% + 0,6667·5%·(1 − 0,2) = 6%
Resposta
WACC = 6%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 9,885 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1/(1 + 0,79·0,25) = 0,8351
Realavanque com o novo D/E
βL = 0,8351·(1 + 0,79·0,6) = 1,231
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,231·6% = 9,885%
Resposta
re = 9,885%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 5250 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Ponto de equilíbrio com mix de vendas: quando os produtos são vendidos em uma proporção fixa, use a margem de contribuição média ponderada: pondere o p − v de cada produto pela sua participação em unidades. Unidades no ponto de equilíbrio = F/(margem de contribuição ponderada), divididas de novo na proporção do mix.