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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Você investe €2 000 a 4% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 19 anos.
PV = €2 000r = 4%t = 19
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €6 000 no início de cada ano durante 24 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 8% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 24? Encontre FV.
A = €6 000i = 8%n = 24
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €40 000 hoje e retorna €17 500, €15 500, €15 000, €12 500, €13 000, €15 500 no final dos anos 1 a 6. O custo de capital é 5%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €80 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €8 000 no final do ano 1 e cresce 4% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 10. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €80 000CF1 = €8 000g = 4%n = 10r = 12%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% e vence em 12 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5% para 3,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 2%n = 12y1 = 5%y2 = 3,5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 9 anos e é vendido por €1 100. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 9P = €1 100
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €8 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.
As ações de uma empresa têm beta de 1,2 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,5. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1,25. A alíquota de imposto é 28%, a taxa livre de risco 1,5% e o prêmio de risco de mercado 6%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €30 000 por ano e custo variável de €12 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €31 000 por ano e custo variável de €10 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €30 000vA = €12FB = €31 000vB = €10
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €50 por unidade, com custo variável de €30 por unidade e custos fixos de €16 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 000 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €16 000p = €50v = €30orçamento = 1 000
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 4277 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,04·19 = 0,76
e0,76 = 2,138
Valor futuro
FV = 2 000·2,138 = €4 276,55
Resposta
FV = €4 276,55
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 432636 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,08)24 − 1)/0,08 = 66,76
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 6 000·66,76·1,08 = €432 635,64
Resposta
FV = €432 635,64
3.VAL e TIR
Resposta: DPB = 2,716 anos
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 17 500/1,05 = 16 666,67 → Σ = 16 666,67
ano 2: 15 500/1,103 = 14 058,96 → Σ = 30 725,62
ano 3: 15 000/1,158 = 12 957,56 → Σ = 43 683,19
Fração do último ano
DPB = 2 + 9 274,38/12 957,56 = 2,716
Resposta
DPB = 2,716 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,467 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −27660 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente da anuidade crescente
((1,04)/(1,12))10 = 0,4766
PV = 8 000/(0,12 − 0,04)·(1 − 0,4766) = 52 340,10
NPV
NPV = 52 340,10 − 80 000 = −€27 659,90
Resposta
NPV = −€27 659,90
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = 120,9 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 100 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Resolva numericamente
P(6%) = €1 136,03, P(7%) = €1 065,15
YTM = 6,498%
Resposta
YTM = 6,498%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,35 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1,2/(1 + 0,72·0,5) = 0,8824
Realavanque com o novo D/E
βL = 0,8824·(1 + 0,72·1,25) = 1,676
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1,5% + 1,676·6% = 11,56%
Resposta
re = 11,56%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 500 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
30 000 + 12Q = 31 000 + 10Q
Resolver para Q
Q = (31 000 − 30 000)/(12 − 10) = 500
Resposta
Q = 500 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 20 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).