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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €5 000 a uma taxa nominal de 4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 8 anos.
PV = €5 0004% / 12n = 8
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €12 000 a 4,2% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €225 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €12 000A = €2254,2% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €20 000 hoje, dura 9 anos e custa €5 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 8%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.
C0 = €20 000M = €5 000n = 9r = 8%
EAC = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €25 000 e devolve €13 000, €14 500, €9 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 13 000CF2 = 14 500CF3 = 9 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% em dois pagamentos semestrais e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é de 3% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4,5%YTM = 3%n = 6
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 10 anos e é vendido por €885. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 10P = €885
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €6 000 000 e dívida no valor de €4 000 000. Seu WACC é 10,32%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 20%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem 1 000 000 ações a €42,50 cada e 5 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 0,9, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.
β = 0,9rf = 3%rm = 7%rd = 7%T = 25,8%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €26 por unidade com um custo variável de €6 por unidade. Os custos fixos são de €24 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €10 000?
F = €24 000p = €26v = €6lucro = €10 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €33 por unidade, com custo variável de €25 por unidade e custos fixos de €6 400 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 000 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €6 400p = €33v = €25orçamento = 1 000
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 6882 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,0035/225 = 0,8133
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,8133)/ln(1,004) = 59,14
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
59 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 60
Resposta
N = 60 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: EAC = 8202 €
Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.
Fator de anuidade
(1 − 1,08−9)/0,08 = 6,247
Preço de compra anualizado
20 000/6,247 = 3 201,59
EAC
EAC = 3 201,59 + 5 000 = €8 201,59
Resposta
EAC = €8 201,59
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 23,71 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(20%) = 1 400,46
NPV(25%) = −456,00
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €22,50, i = 0,015, N = 12
Valor presente dos cupons
€22,50·(1 − 0,8364)/0,015 = €245,42
Valor presente do valor de face
€1 000·0,8364 = €836,39
Preço
P = €1 081,81
Resposta
P = €1 081,81
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 5,528 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€885 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Resolva numericamente
P(5%) = €922,78, P(6%) = €852,80
YTM = 5,528%
Resposta
YTM = 5,528%
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 14 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Parte da dívida no WACC
0,4·6%·(1 − 0,2) = 1,92%
Custo do capital próprio
re = (10,32% − 1,92%)/0,6 = 14%
Resposta
re = 14%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,452 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).