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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €6 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 2% ao ano para sempre. O retorno exigido é 5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €6 000g = 2%r = 5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €150 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 25 anos a 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 9? Encontre o saldo devedor B.
P = €150 0006% / 12N = 300k = 108
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €18 000, €20 000, €18 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €200 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €30 000 no final do ano 1 e cresce 3% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 6. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €200 000CF1 = €30 000g = 3%n = 6r = 8%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 4 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 2,5% para 1%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 5%n = 4y1 = 2,5%y2 = 1%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 18 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 9%) é vendido a €1 094. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 6 anos a um preço de resgate de €1 090. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 9%P = €1 094preço de resgate = €1 090resgate em 6 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1,1. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,75. A alíquota de imposto é 30%, a taxa livre de risco é 2,5% e o prêmio de risco de mercado é 4%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 1,1D/E = 0,75T = 30%rf = 2,5%rm − rf = 4%
re = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €16 por unidade com um custo variável de €12 por unidade. Os custos fixos são de €20 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €5 000?
F = €20 000p = €16v = €12lucro = €5 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 750 unidades a €30 cada, com custo variável de €18 por unidade e custos fixos de €6 000. Em que porcentagem %ΔΠ o lucro operacional varia se o volume de vendas cair 8%?
Q = 750p = €30v = €18F = €6 000%ΔQ = −8%
%ΔΠ = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 200000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Prestação mensal
i = 0,005, N = 300
A = 150 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−300) = €966,45
Valor presente das prestações restantes
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 300 − 108 = 192
B = 966,5·(1 − (1 + 0,005)−192)/0,005 = €119 103,65
Resposta
B = €119 103,65
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −26015 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 18 000/1,07 = 16 822,43
CF2/(1 + 0,07)2 = 20 000/1,145 = 17 468,77
CF3/(1 + 0,07)3 = 18 000/1,225 = 14 693,36
Somar
NPV = €−26 015,43
Resposta
NPV = €−26 015,43
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −51473 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = 62,03 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1094 = 90·(1 − (1 + y)−6)/y + 1090/(1 + y)6
Resolva numericamente
y = 8%: €1 102,94
y = 9%: €1 053,66
YTC = 8,177%
Resposta
YTC = 8,177%
O rendimento até o vencimento é 7,997%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,295 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455
WACC
WACC = 0,4545·10% + 0,5455·7%·(1 − 0,28) = 7,295%
Resposta
WACC = 7,295%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 9,21 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 1,1·(1 + 0,7·0,75) = 1,677
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2,5% + 1,677·4% = 9,21%
Resposta
re = 9,21%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 6250 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Alavancagem operacional: os custos fixos fazem o lucro reagir mais fortemente que as vendas. O grau de alavancagem operacional DOL = margem de contribuição/lucro operacional indica que uma variação de 1% nas vendas muda o lucro em DOL %. Ele é muito alto logo acima do ponto de equilíbrio e diminui à medida que as vendas crescem.