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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €8 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1% ao ano para sempre. O retorno exigido é 3% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €8 000g = 1%r = 3%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €12 000 a 3% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €150 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €12 000A = €1503% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €20 000 hoje, dura 7 anos e custa €5 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 10%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.
C0 = €20 000M = €5 000n = 7r = 10%
EAC = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €50 000 e devolve €25 500, €30 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 25 500CF2 = 30 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 3 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 8%) quando seu rendimento até o vencimento é 5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 4%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 3y0 = 5%y1 = 4%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 7 anos e é vendido por €1 115. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 7P = €1 115
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €4 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 000 000 ações negociadas a €60,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €60 000 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,30 por ação, e os dividendos crescem 5% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €120 000 000 e custo antes dos impostos de 4,5%. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um produto é vendido a €22 com custo variável de €18 por unidade. Os custos fixos são €4 000 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €2 000 após os impostos?
p = €22v = €18F = €4 000T = 20%lucro após os impostos = €2 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 630 unidades por mês a €12 cada, com custo variável de €4 por unidade e custos fixos de €4 000 por mês. O custo variável aumenta €3 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 630p = €12v = €4 → €7F = €4 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 400000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,0025
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,0025/150 = 0,8
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,8)/ln(1,002) = 89,37
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
89 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 90
Resposta
N = 90 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: EAC = 9108 €
Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.
Fator de anuidade
(1 − 1,1−7)/0,1 = 4,868
Preço de compra anualizado
20 000/4,868 = 4 108,11
EAC
EAC = 4 108,11 + 5 000 = €9 108,11
Resposta
EAC = €9 108,11
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 7,049 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 1 496,60
NPV(10%) = −2 024,79
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 115 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Resolva numericamente
P(5%) = €1 115,73, P(6%) = €1 055,82
YTM = 5,012%
Resposta
YTM = 5,012%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,411 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo do capital próprio
D1 = 2,3·1,05 = €2,42
re = 2,415/60 + 0,05 = 9,025%
Valores de mercado
E = 2 000 000·€60,00 = €120 000 000
V = €240 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9,025% + 0,5·4,5%·(1 − 0,3) = 6,088%
Resposta
WACC = 6,088%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 1625 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
2 000/(1 − 0,2) = €2 500
Unidades necessárias
Q = (4 000 + 2 500)/4 = 1 625
Resposta
Q = 1 625 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 1008 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).