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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €2 000 no final de cada ano durante 19 anos. A taxa de juros é 8% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €2 000i = 8%n = 19
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €15 000 é pago em prestações mensais iguais durante 4 anos. A taxa de juro é de 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €15 0004,2% / 12N = 48
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €250 000 hoje. Ele gera €20 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 2% ao ano para sempre. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €250 000CF1 = €20 000g = 2%r = 8%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um investimento de €50 000 retorna €12 500 no final de cada ano durante 9 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €50 000CF = €12 500n = 9
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% em dois pagamentos semestrais e vence em 12 anos. O rendimento até o vencimento é de 9% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 8%YTM = 9%n = 12
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 5%n = 3YTM = 2,5%
D = anos
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €12 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €33,00 cada e 40 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 1,5, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 1,5rf = 2,5%rm = 8%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto é vendido a €11 com custo variável de €6 por unidade. Os custos fixos são €7 500 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €2 500 após os impostos?
p = €11v = €6F = €7 500T = 20%lucro após os impostos = €2 500
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €16 por unidade, com custo variável de €4 por unidade e custos fixos de €24 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 2 300 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €24 000p = €16v = €4orçamento = 2 300
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 19207 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2317)/0,08 = 9,604
Valor atual
PV = 2 000·9,604 = €19 207,20
Resposta
PV = €19 207,20
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 340 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·4 = 48
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8456
A = 15 000·0,0035/(1 − 0,8456) = €340,03
Resposta
A = €340,03
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 83333 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 20 000/(0,08 − 0,02) = 333 333,33
NPV
NPV = 333 333,33 − 250 000 = €83 333,33
Resposta
NPV = €83 333,33
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 20,24 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−9)/i = 50 000/12 500 = 4
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 20%: 4,031
i = 21%: 3,905
IRR = 20,24%
Resposta
IRR = 20,24%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 927,5 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €40,00, i = 0,045, N = 24
Valor presente dos cupons
€40,00·(1 − 0,3477)/0,045 = €579,82
Valor presente do valor de face
€1 000·0,3477 = €347,70
Preço
P = €927,52
Resposta
P = €927,52
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: D = 2,865 anos
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 50/1,025 = 48,78, t·PV = 48,78
t = 2: 50/1,051 = 47,59, t·PV = 95,18
t = 3: 1050/1,077 = 975,03, t·PV = 2 925,09
Duration
P = 1 071,40
D = 3 069,05/1 071,40 = 2,865
Resposta
D = 2,865 anos
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,592 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·12% + 0,25·3%·(1 − 0,21) = 9,592%
Resposta
WACC = 9,592%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,063 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
2 500/(1 − 0,2) = €3 125
Unidades necessárias
Q = (7 500 + 3 125)/5 = 2 125
Resposta
Q = 2 125 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 13,04 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).