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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €15 000 daqui a 9 anos. Uma conta rende 5 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €15 0005% / 4n = 9
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €10 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 3 anos a 3% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
P = €10 0003% / 12N = 36
I = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €30 000 hoje e retorna €10 000, €6 500, €9 000, €8 500, €13 000 no final dos anos 1 a 5. O custo de capital é 12%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um investimento de €40 000 retorna €9 000 no final de cada ano durante 6 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €40 000CF = €9 000n = 6
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 11 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 3%) quando seu rendimento até o vencimento é 8%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 8,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 11y0 = 8%y1 = 8,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 6%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 2%n = 5YTM = 6%
D = anos
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €5 000 000, ações preferenciais no valor de €1 000 000 e dívida no valor de €5 000 000. O custo do capital próprio é 14%, o custo das ações preferenciais 8% e o custo da dívida antes dos impostos 5%. A alíquota de imposto é 28%. Encontre o WACC.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1,2. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,25. A alíquota de imposto é 20%, a taxa livre de risco é 1% e o prêmio de risco de mercado é 4,5%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 1,2D/E = 0,25T = 20%rf = 1%rm − rf = 4,5%
re = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €20 000 por ano e custo variável de €15 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €21 600 por ano e custo variável de €13 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €20 000vA = €15FB = €21 600vB = €13
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €26 por unidade, com custo variável de €18 por unidade e custos fixos de €6 400 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 440 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €6 400p = €26v = €18orçamento = 1 440
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 9591 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·9 = 36
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,564 = €9 591,14
Resposta
PV = €9 591,14
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: I = 469,2 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Prestação mensal
i = 0,0025, N = 36
A = 10 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−36) = €290,81
Juros totais
I = N·A − P = 36·290,8 − 10 000 = €469,24
Resposta
I = €469,24
3.VAL e TIR
Resposta: DPB = 4,553 anos
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 10 000/1,12 = 8 928,57 → Σ = 8 928,57
ano 2: 6 500/1,254 = 5 181,76 → Σ = 14 110,33
ano 3: 9 000/1,405 = 6 406,02 → Σ = 20 516,35
ano 4: 8 500/1,574 = 5 401,90 → Σ = 25 918,26
ano 5: 13 000/1,762 = 7 376,55 → Σ = 33 294,81
Fração do último ano
DPB = 4 + 4 081,74/7 376,55 = 4,553
Resposta
DPB = 4,553 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,529 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 9,312 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−6)/i = 40 000/9 000 = 4,444
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 9%: 4,486
i = 10%: 4,355
IRR = 9,312%
Resposta
IRR = 9,312%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 4,055 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 20/1,06 = 18,87, t·PV = 18,87
t = 2: 20/1,124 = 17,80, t·PV = 35,60
t = 3: 20/1,191 = 16,79, t·PV = 50,38
t = 4: 20/1,262 = 15,84, t·PV = 63,37
t = 5: 1020/1,338 = 762,20, t·PV = 3 811,02
Duration
P = 831,51
D = 3 979,23/831,51 = 4,786
Resposta
D = 4,786 anos
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,727 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 1,2·(1 + 0,8·0,25) = 1,44
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1% + 1,44·4,5% = 7,48%
Resposta
re = 7,48%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 800 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
20 000 + 15Q = 21 600 + 13Q
Resolver para Q
Q = (21 600 − 20 000)/(15 − 13) = 800
Resposta
Q = 800 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 44,44 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).