Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.
1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Você investe €1 000 a 3% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 15 anos.
PV = €1 000r = 3%t = 15
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €2 500 no início de cada ano durante 11 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 5% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 11? Encontre FV.
A = €2 500i = 5%n = 11
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €20 000 hoje e retorna €7 000 no final de cada ano durante 5 anos. O custo de capital é 10%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €50 000 e devolve €26 500, €35 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 26 500CF2 = 35 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 7 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 3,5% para 2,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 7%n = 7y1 = 3,5%y2 = 2,5%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €905 com rendimento até o vencimento de 6% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 6,1 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 150 pontos-base.
P0 = €905y = 6%D = 6,1Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €4 000 000 e dívida no valor de €1 000 000. Seu WACC é 7,67%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem 5 000 000 ações negociadas a €39,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €117 000 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €1,30 por ação, e os dividendos crescem 4% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €58 500 000 e custo antes dos impostos de 3%. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um produto é vendido a €35 com custo variável de €30 por unidade. Os custos fixos são €5 000 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €2 000 após os impostos?
p = €35v = €30F = €5 000T = 20%lucro após os impostos = €2 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €49 por unidade, com custo variável de €45 por unidade e custos fixos de €3 200 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 200 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €3 200p = €49v = €45orçamento = 1 200
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 1568 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,03·15 = 0,45
e0,45 = 1,568
Valor futuro
FV = 1 000·1,568 = €1 568,31
Resposta
FV = €1 568,31
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 37293 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,05)11 − 1)/0,05 = 14,21
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 2 500·14,21·1,05 = €37 292,82
Resposta
FV = €37 292,82
3.VAL e TIR
Resposta: DPB = 3,542 anos
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 7 000/1,1 = 6 363,64 → Σ = 6 363,64
ano 2: 7 000/1,21 = 5 785,12 → Σ = 12 148,76
ano 3: 7 000/1,331 = 5 259,20 → Σ = 17 407,96
ano 4: 7 000/1,464 = 4 781,09 → Σ = 22 189,06
Fração do último ano
DPB = 3 + 2 592,04/4 781,09 = 3,542
Resposta
DPB = 3,542 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,857 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 14,83 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(10%) = 3 429,75
NPV(15%) = −113,42
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 6,1/1,06 = 5,755
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −5,755·(0,015) = −8,632%
P ≈ 905·(1 − 0,08632) = €826,88
Resposta
P = €826,88
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 8,995 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €5 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
Parte da dívida no WACC
0,2·3%·(1 − 0,21) = 0,474%
Custo do capital próprio
re = (7,67% − 0,474%)/0,8 = 8,995%
Resposta
re = 8,995%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,263 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
2 000/(1 − 0,2) = €2 500
Unidades necessárias
Q = (5 000 + 2 500)/5 = 1 500
Resposta
Q = 1 500 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 33,33 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).