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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €50 000 daqui a 2 anos. Uma conta rende 3,6 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €50 0003,6% / 4n = 2
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €15 000 é pago em prestações mensais iguais durante 3 anos. A taxa de juro é de 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €15 0006% / 12N = 36
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €32 000, €23 000, €22 000, €20 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €20 000 e devolve €8 500, €14 000, €9 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 8 500CF2 = 14 000CF3 = 9 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 8 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 3% para 1%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 5%n = 8y1 = 3%y2 = 1%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 3 anos e é vendido por €975. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 3P = €975
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma ação com beta de 0,6 tem retorno exigido de 4,2%. A taxa livre de risco é 1,5%. Que retorno esperado do mercado rm o CAPM implica?
β = 0,6re = 4,2%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifícil
As ações de uma empresa têm beta de 1,2 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,25. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1,25. A alíquota de imposto é 25,8%, a taxa livre de risco 4% e o prêmio de risco de mercado 7%. Encontre o custo do capital próprio re após a mudança.
Uma empresa vende 6 000 unidades a €27 cada. O custo variável é €25 por unidade e os custos fixos são €4 000. Encontre o grau de alavancagem operacional DOL nesse nível de vendas.
Q = 6 000p = €27v = €25F = €4 000
DOL =
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €17 por unidade, com custo variável de €15 por unidade e custos fixos de €4 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 2 400 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €4 000p = €17v = €15orçamento = 2 400
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 46542 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·2 = 8
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,074 = €46 541,53
Resposta
PV = €46 541,53
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 456,3 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·3 = 36
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8356
A = 15 000·0,005/(1 − 0,8356) = €456,33
Resposta
A = €456,33
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 276,4 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,12)1 = 32 000/1,12 = 28 571,43
CF2/(1 + 0,12)2 = 23 000/1,254 = 18 335,46
CF3/(1 + 0,12)3 = 22 000/1,405 = 15 659,17
CF4/(1 + 0,12)4 = 20 000/1,574 = 12 710,36
Somar
NPV = €276,41
Resposta
NPV = €276,41
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 27,04 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 624,00
NPV(30%) = −853,44
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 25 + 5·624,00/(624,00 − (−853,44)) = 27,11%
exato: NPV(27,04%) = 0 → IRR = 27,04%
Resposta
IRR = 27,04%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = 165,7 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€975 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Resolva numericamente
P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €973,76
YTM = 6,952%
Resposta
YTM = 6,952%
7.CAPM e WACC
Resposta: rm = 6 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Prêmio de risco de mercado
rm − rf = (4,2% − 1,5%)/0,6 = 4,5%
Retorno do mercado
rm = 1,5% + 4,5% = 6%
Resposta
rm = 6%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 17,66 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Desalavanque o beta
βU = 1,2/(1 + 0,742·0,25) = 1,012
Realavanque com o novo D/E
βL = 1,012·(1 + 0,742·1,25) = 1,951
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 4% + 1,951·7% = 17,66%
Resposta
re = 17,66%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: DOL = 1,5
Alavancagem operacional: os custos fixos fazem o lucro reagir mais fortemente que as vendas. O grau de alavancagem operacional DOL = margem de contribuição/lucro operacional indica que uma variação de 1% nas vendas muda o lucro em DOL %. Ele é muito alto logo acima do ponto de equilíbrio e diminui à medida que as vendas crescem.
Margem de contribuição total
CM = 6 000·(27 − 25) = €12 000
Lucro operacional
Π = 12 000 − 4 000 = €8 000
DOL
DOL = 12 000/8 000 = 1,5
Resposta
DOL = 1,5
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 16,67 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).