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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €3 000 no final de cada ano durante 19 anos. A taxa de juros é 7% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €3 000i = 7%n = 19
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €250 no fim de cada mês durante 6 anos. A conta rende 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €2506% / 12N = 72
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €7 000, €9 000, €5 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e devolve €6 000, €7 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 7 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 10 anos. O rendimento até o vencimento é de 2,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4%YTM = 2,5%n = 10
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 3 anos e é vendido por €1 030. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 3P = €1 030
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,4. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC.
D/E = 0,4re = 12%rd = 3%T = 21%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1,1. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 1,5. A alíquota de imposto é 20%, a taxa livre de risco é 1,5% e o prêmio de risco de mercado é 6%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 1,1D/E = 1,5T = 20%rf = 1,5%rm − rf = 6%
re = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto é vendido a €11 com custo variável de €6 por unidade. Os custos fixos são €20 000 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €8 000 após os impostos?
p = €11v = €6F = €20 000T = 20%lucro após os impostos = €8 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €21 por unidade, com custo variável de €15 por unidade e custos fixos de €9 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 880 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €9 000p = €21v = €15orçamento = 1 880
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 31007 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,2765)/0,07 = 10,34
Valor atual
PV = 3 000·10,34 = €31 006,79
Resposta
PV = €31 006,79
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 21602 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 7 000/1,1 = 6 363,64
CF2/(1 + 0,1)2 = 9 000/1,21 = 7 438,02
CF3/(1 + 0,1)3 = 5 000/1,331 = 3 756,57
Somar
NPV = €−2 441,77
Resposta
NPV = €−2 441,77
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 18,88 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(15%) = 510,40
NPV(20%) = −138,89
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 15 + 5·510,40/(510,40 − (−138,89)) = 18,93%
exato: NPV(18,88%) = 0 → IRR = 18,88%
Resposta
IRR = 18,88%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1132 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €20,00, i = 0,0125, N = 20
Valor presente dos cupons
€20,00·(1 − 0,78)/0,0125 = €351,99
Valor presente do valor de face
€1 000·0,78 = €780,01
Preço
P = €1 131,99
Resposta
P = €1 131,99
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 3,921 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 030 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Resolva numericamente
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,921%
Resposta
YTM = 3,921%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,249 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·12% + 0,2857·3%·(1 − 0,21) = 9,249%
Resposta
WACC = 9,249%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 16,02 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 1,1·(1 + 0,8·1,5) = 2,42
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1,5% + 2,42·6% = 16,02%
Resposta
re = 16,02%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 6000 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
8 000/(1 − 0,2) = €10 000
Unidades necessárias
Q = (20 000 + 10 000)/5 = 6 000
Resposta
Q = 6 000 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 20,21 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).