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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €3 000 a uma taxa nominal de 3 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 7 anos.
PV = €3 0003% / 4n = 7
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €250 000 é pago em prestações mensais iguais durante 30 anos. A taxa de juro é de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €250 0003% / 12N = 360
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €10 000, €9 000, €17 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €150 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €19 500 no final do ano 1 e cresce 5% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 7. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €150 000CF1 = €19 500g = 5%n = 7r = 12%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 4%YTM = 5%n = 4
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 10 anos e é vendido por €1 170. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 10P = €1 170
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €42,50 cada e 20 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 0,6, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 9,5%. Calcule o WACC.
β = 0,6rf = 3%rm = 9,5%rd = 6%T = 25,8%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto é vendido a €14 com custo variável de €12 por unidade. Os custos fixos são €4 000 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €1 000 após os impostos?
p = €14v = €12F = €4 000T = 20%lucro após os impostos = €1 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 3 000 unidades a €12 cada, com custo variável de €6 por unidade e custos fixos de €12 000. Em que porcentagem %ΔΠ o lucro operacional varia se o volume de vendas aumentar 15%?
Q = 3 000p = €12v = €6F = €12 000%ΔQ = +15%
%ΔΠ = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 3698 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·30 = 360
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,407
A = 250 000·0,0025/(1 − 0,407) = €1 054,01
Resposta
A = €1 054,01
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −13916 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 10 000/1,07 = 9 345,79
CF2/(1 + 0,07)2 = 9 000/1,145 = 7 860,95
CF3/(1 + 0,07)3 = 17 000/1,225 = 13 877,06
Somar
NPV = €−13 916,19
Resposta
NPV = €−13 916,19
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −48740 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 964,1 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €20,00, i = 0,025, N = 8
Valor presente dos cupons
€20,00·(1 − 0,8207)/0,025 = €143,40
Valor presente do valor de face
€1 000·0,8207 = €820,75
Preço
P = €964,15
Resposta
P = €964,15
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 3,006 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
1 000/(1 − 0,2) = €1 250
Unidades necessárias
Q = (4 000 + 1 250)/2 = 2 625
Resposta
Q = 2 625 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: %ΔΠ = 45 %
Alavancagem operacional: os custos fixos fazem o lucro reagir mais fortemente que as vendas. O grau de alavancagem operacional DOL = margem de contribuição/lucro operacional indica que uma variação de 1% nas vendas muda o lucro em DOL %. Ele é muito alto logo acima do ponto de equilíbrio e diminui à medida que as vendas crescem.