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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €5 000 a uma taxa nominal de 4,8 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 10 anos.
PV = €5 0004,8% / 4n = 10
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €500 no fim de cada mês durante 14 anos. A conta rende 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €5004,2% / 12N = 168
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €35 000, €24 000, €17 000, €19 000. O custo do capital é de 6 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e devolve €17 000, €10 500, €18 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 17 000CF2 = 10 500CF3 = 18 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 14 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 106 quando o rendimento até o vencimento é 4%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 14P = €1 106YTM = 4%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 8 anos e é vendido por €910. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 8P = €910
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1,5. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.
D/E = 1,5re = 14%rd = 6%T = 25%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 1 000 000 ações a €58,00 cada e 5 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 30%. O beta da ação é 0,9, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 8,5%. Calcule o WACC.
β = 0,9rf = 4%rm = 8,5%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto é vendido a €23 com custo variável de €8 por unidade. Os custos fixos são €30 000 por mês e o lucro é tributado a 25%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €9 000 após os impostos?
p = €23v = €8F = €30 000T = 25%lucro após os impostos = €9 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €50 por unidade, com custo variável de €45 por unidade e custos fixos de €5 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 800 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €5 000p = €50v = €45orçamento = 1 800
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 8057 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 35 000/1,06 = 33 018,87
CF2/(1 + 0,06)2 = 24 000/1,124 = 21 359,91
CF3/(1 + 0,06)3 = 17 000/1,191 = 14 273,53
CF4/(1 + 0,06)4 = 19 000/1,262 = 15 049,78
Somar
NPV = €8 702,09
Resposta
NPV = €8 702,09
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 37,01 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(35%) = 669,87
NPV(40%) = −940,23
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 35 + 5·669,87/(669,87 − (−940,23)) = 37,08%
exato: NPV(37,01%) = 0 → IRR = 37,01%
Resposta
IRR = 37,01%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 5,003 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,04)−14 = €577,48
Cupom
C = (1106 − 577,48)/10,56 = €50,03
Taxa de cupom
c = 50,03/1000 = 5,003%
Resposta
c = 5,003%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 7,539 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(7%) = €940,29, P(8%) = €885,07
YTM = 7,539%
Resposta
YTM = 7,539%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,3 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·14% + 0,6·6%·(1 − 0,25) = 8,3%
Resposta
WACC = 8,3%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,569 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
9 000/(1 − 0,25) = €12 000
Unidades necessárias
Q = (30 000 + 12 000)/15 = 2 800
Resposta
Q = 2 800 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 44,44 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).