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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 20% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 20%m = 12
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 3 anos a 4,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
P = €20 0004,2% / 12N = 36
I = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €30 000 hoje, dura 10 anos e custa €1 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 6%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.
C0 = €30 000M = €1 000n = 10r = 6%
EAC = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €25 000 e retorna €12 500, €14 500, €10 000 no final dos anos 1 a 3. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 6%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. O rendimento até o vencimento é de 3,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 5%YTM = 3,5%n = 11
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 6 anos e é vendido por €885. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 6P = €885
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1,5. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC.
D/E = 1,5re = 13%rd = 6%T = 30%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 4 000 000 ações negociadas a €53,50; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €64 200 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,60 por ação, e os dividendos crescem 2% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €171 200 000 e custo antes dos impostos de 6%. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um produto é vendido a €14 com custo variável de €6 por unidade. Os custos fixos são €6 400 por mês e o lucro é tributado a 25%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €3 000 após os impostos?
p = €14v = €6F = €6 400T = 25%lucro após os impostos = €3 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €18 por unidade, com custo variável de €6 por unidade e custos fixos de €18 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 2 400 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €18 000p = €18v = €6orçamento = 2 400
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 21,94 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,2/12 = 0,01667
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,01667)12 − 1 = 1,219 − 1 = 21,94%
Resposta
EAR = 21,94%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: I = 1321 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Prestação mensal
i = 0,0035, N = 36
A = 20 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)−36) = €592,26
Juros totais
I = N·A − P = 36·592,3 − 20 000 = €1 321,39
Resposta
I = €1 321,39
3.VAL e TIR
Resposta: EAC = 5076 €
Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.
Fator de anuidade
(1 − 1,06−10)/0,06 = 7,36
Preço de compra anualizado
30 000/7,36 = 4 076,04
EAC
EAC = 4 076,04 + 1 000 = €5 076,04
Resposta
EAC = €5 076,04
4.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 16,39 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valor terminal das entradas
12 500·1,062 = 14 045,00
14 500·1,061 = 15 370,00
10 000·1,060 = 10 000,00
TV = 39 415,00
MIRR
MIRR = (39 415,00/25 000)1/3 − 1 = 16,39%
Resposta
MIRR = 16,39%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 1136 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, i = 0,0175, N = 22
Valor presente dos cupons
€25,00·(1 − 0,6827)/0,0175 = €453,26
Valor presente do valor de face
€1 000·0,6827 = €682,72
Preço
P = €1 135,98
Resposta
P = €1 135,98
O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 7,446 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€885 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Resolva numericamente
P(7%) = €904,67, P(8%) = €861,31
YTM = 7,446%
Resposta
YTM = 7,446%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,72 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·13% + 0,6·6%·(1 − 0,3) = 7,72%
Resposta
WACC = 7,72%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,844 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
3 000/(1 − 0,25) = €4 000
Unidades necessárias
Q = (6 400 + 4 000)/8 = 1 300
Resposta
Q = 1 300 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 37,5 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).