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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €20 000 a uma taxa nominal de 3 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 5 anos.
PV = €20 0003% / 4n = 5
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €200 000 é pago em prestações mensais iguais durante 20 anos. A taxa de juro é de 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €200 0006% / 12N = 240
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €500 000 hoje. Ele gera €24 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 9%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €500 000CF1 = €24 000g = 3%r = 9%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €25 000 e devolve €9 000, €15 500, €12 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 9 000CF2 = 15 500CF3 = 12 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 12 anos. O rendimento até o vencimento é de 5,5% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 5%YTM = 5,5%n = 12
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €930 com rendimento até o vencimento de 6% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 3,9 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 150 pontos-base.
P0 = €930y = 6%D = 3,9Δy = −150 bp
P = €
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 4 000 000 ações negociadas a €32,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €76 800 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €1,50 por ação, e os dividendos crescem 4% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €102 400 000 e custo antes dos impostos de 5%. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um produto vende-se a €38 por unidade com um custo variável de €18 por unidade. Os custos fixos são de €40 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €6 000?
F = €40 000p = €38v = €18lucro = €6 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €24 por unidade, com custo variável de €18 por unidade e custos fixos de €3 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 900 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €3 000p = €24v = €18orçamento = 900
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 23224 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·20 = 240
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,3021
A = 200 000·0,005/(1 − 0,3021) = €1 432,86
Resposta
A = €1 432,86
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −100000 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 24 000/(0,09 − 0,03) = 400 000,00
NPV
NPV = 400 000,00 − 500 000 = −€100 000,00
Resposta
NPV = −€100 000,00
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 20,5 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(20%) = 208,33
NPV(25%) = −1 736,00
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, i = 0,0275, N = 24
Valor presente dos cupons
€25,00·(1 − 0,5215)/0,0275 = €435,02
Valor presente do valor de face
€1 000·0,5215 = €521,48
Preço
P = €956,50
Resposta
P = €956,50
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 981,3 €
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 3,9/1,06 = 3,679
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −3,679·(−0,015) = 5,519%
P ≈ 930·(1 + 0,05519) = €981,33
Resposta
P = €981,33
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,387 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·10% + 0,3333·3%·(1 − 0,28) = 7,387%
Resposta
WACC = 7,387%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,579 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).