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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Você investe €2 000 a 8% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 18 anos.
PV = €2 000r = 8%t = 18
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais durante 4 anos. A taxa de juro é de 7,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €20 0007,2% / 12N = 48
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €34 000, €17 000, €22 000. O custo do capital é de 8 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €20 000 e devolve €12 000, €11 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 11 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. O rendimento até o vencimento é de 9% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 3%YTM = 9%n = 9
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 10 anos e é vendido por €925. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 10P = €925
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,25. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC.
D/E = 0,25re = 10%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 000 000 ações a €32,50 cada e 10 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 0,6, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 6,5%. Calcule o WACC.
β = 0,6rf = 2,5%rm = 6,5%rd = 4%T = 20%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €16 por unidade com um custo variável de €12 por unidade. Os custos fixos são de €20 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €12 000?
F = €20 000p = €16v = €12lucro = €12 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 1 500 unidades por mês a €32 cada, com custo variável de €20 por unidade e custos fixos de €12 000 por mês. O custo variável aumenta €2 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 1 500p = €32v = €20 → €22F = €12 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 8441 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,08·18 = 1,44
e1,44 = 4,221
Valor futuro
FV = 2 000·4,221 = €8 441,39
Resposta
FV = €8 441,39
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 480,8 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·4 = 48
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,7504
A = 20 000·0,006/(1 − 0,7504) = €480,78
Resposta
A = €480,78
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −11479 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 34 000/1,08 = 31 481,48
CF2/(1 + 0,08)2 = 17 000/1,166 = 14 574,76
CF3/(1 + 0,08)3 = 22 000/1,26 = 17 464,31
Somar
NPV = €−11 479,45
Resposta
NPV = €−11 479,45
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 10 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 1 405,90
NPV(10%) = −0,00
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 5 + 5·1 405,90/(1 405,90 − (−0,00)) = 10%
exato: NPV(10%) = 0 → IRR = 10%
Resposta
IRR = 10%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 635,2 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €15,00, i = 0,045, N = 18
Valor presente dos cupons
€15,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €182,40
Valor presente do valor de face
€1 000·0,4528 = €452,80
Preço
P = €635,20
Resposta
P = €635,20
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 4,97 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€925 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Resolva numericamente
P(4%) = €1 000,00, P(5%) = €922,78
YTM = 4,97%
Resposta
YTM = 4,97%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,668 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·10% + 0,2·4,5%·(1 − 0,258) = 8,668%
Resposta
WACC = 8,668%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 4,664 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 2 000 000·€32,50 = €65 000 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2,5% + 0,6·4% = 4,9%
Pesos
V = €75 500 000, E/V = 0,8609, D/V = 0,1391
WACC
WACC = 0,8609·4,9% + 0,1391·4%·(1 − 0,2) = 4,664%
Resposta
WACC = 4,664%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 8000 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).