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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €12 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 4,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €12 000g = 1,5%r = 4,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você quer €75 000 daqui a 18 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.
FV = €75 0003,6% / 12N = 216
A = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €40 000 hoje, dura 9 anos e custa €4 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 10%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.
C0 = €40 000M = €4 000n = 9r = 10%
EAC = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €20 000 e devolve €12 500, €10 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 12 500CF2 = 10 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% em dois pagamentos semestrais e vence em 7 anos. O rendimento até o vencimento é de 6% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 3%YTM = 6%n = 7
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 3 anos e é vendido por €1 040. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
E = €3 000 000D = €5 000 000re = 8%rd = 6%T = 28%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1,2. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 1,5. A alíquota de imposto é 28%, a taxa livre de risco é 3% e o prêmio de risco de mercado é 6%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 1,2D/E = 1,5T = 28%rf = 3%rm − rf = 6%
re = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Uma empresa vende 2 500 unidades a €35 cada. O custo variável é €15 por unidade e os custos fixos são €40 000. Encontre o grau de alavancagem operacional DOL nesse nível de vendas.
Q = 2 500p = €35v = €15F = €40 000
DOL =
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 10 000 unidades a €45 cada, com custo variável de €30 por unidade e custos fixos de €75 000. Em que porcentagem %ΔΠ o lucro operacional varia se o volume de vendas aumentar 8%?
Q = 10 000p = €45v = €30F = €75 000%ΔQ = +8%
%ΔΠ = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 400000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.
Fator de anuidade
(1 − 1,1−9)/0,1 = 5,759
Preço de compra anualizado
40 000/5,759 = 6 945,62
EAC
EAC = 6 945,62 + 4 000 = €10 945,62
Resposta
EAC = €10 945,62
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 8,558 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 975,06
NPV(10%) = −371,90
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 5 + 5·975,06/(975,06 − (−371,90)) = 8,619%
exato: NPV(8,558%) = 0 → IRR = 8,558%
Resposta
IRR = 8,558%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 830,6 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €15,00, i = 0,03, N = 14
Valor presente dos cupons
€15,00·(1 − 0,6611)/0,03 = €169,44
Valor presente do valor de face
€1 000·0,6611 = €661,12
Preço
P = €830,56
Resposta
P = €830,56
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 6,49 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 040 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Resolva numericamente
P(6%) = €1 053,46, P(7%) = €1 026,24
YTM = 6,49%
Resposta
YTM = 6,49%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,7 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
WACC
WACC = 0,375·8% + 0,625·6%·(1 − 0,28) = 5,7%
Resposta
WACC = 5,7%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 17,98 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 1,2·(1 + 0,72·1,5) = 2,496
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 3% + 2,496·6% = 17,98%
Resposta
re = 17,98%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: DOL = 5
Alavancagem operacional: os custos fixos fazem o lucro reagir mais fortemente que as vendas. O grau de alavancagem operacional DOL = margem de contribuição/lucro operacional indica que uma variação de 1% nas vendas muda o lucro em DOL %. Ele é muito alto logo acima do ponto de equilíbrio e diminui à medida que as vendas crescem.
Margem de contribuição total
CM = 2 500·(35 − 15) = €50 000
Lucro operacional
Π = 50 000 − 40 000 = €10 000
DOL
DOL = 50 000/10 000 = 5
Resposta
DOL = 5
10.Análise do ponto crítico
Resposta: %ΔΠ = 16 %
Alavancagem operacional: os custos fixos fazem o lucro reagir mais fortemente que as vendas. O grau de alavancagem operacional DOL = margem de contribuição/lucro operacional indica que uma variação de 1% nas vendas muda o lucro em DOL %. Ele é muito alto logo acima do ponto de equilíbrio e diminui à medida que as vendas crescem.