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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Você investe €2 000 a 2% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 11 anos.
PV = €2 000r = 2%t = 11
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €50 no fim de cada mês durante 24 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €502,4% / 12N = 288
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €20 000 hoje e retorna €4 500, €7 000, €6 500, €7 000, €6 000 no final dos anos 1 a 5. O custo de capital é 10%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €10 000 e devolve €5 500, €6 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 6 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. O rendimento até o vencimento é de 9% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 2%YTM = 9%n = 9
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 8 anos e é vendido por €910. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 8P = €910
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 000 000 ações negociadas a €29,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €29 000 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,10 por ação, e os dividendos crescem 2% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €46 400 000 e custo antes dos impostos de 4%. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um produto é vendido a €9 com custo variável de €4 por unidade. Os custos fixos são €7 500 por mês e o lucro é tributado a 25%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €1 500 após os impostos?
p = €9v = €4F = €7 500T = 25%lucro após os impostos = €1 500
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 3 750 unidades por mês a €31 cada, com custo variável de €25 por unidade e custos fixos de €9 000 por mês. O custo variável aumenta €1 por unidade e o preço continua o mesmo. Quantas unidades Q precisam agora ser vendidas por mês para manter o mesmo lucro?
Q = 3 750p = €31v = €25 → €26F = €9 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 2492 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,02·11 = 0,22
e0,22 = 1,246
Valor futuro
FV = 2 000·1,246 = €2 492,15
Resposta
FV = €2 492,15
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 19447 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 4 500/1,1 = 4 090,91 → Σ = 4 090,91
ano 2: 7 000/1,21 = 5 785,12 → Σ = 9 876,03
ano 3: 6 500/1,331 = 4 883,55 → Σ = 14 759,58
ano 4: 7 000/1,464 = 4 781,09 → Σ = 19 540,67
ano 5: 6 000/1,611 = 3 725,53 → Σ = 23 266,20
Fração do último ano
DPB = 4 + 459,33/3 725,53 = 4,123
Resposta
DPB = 4,123 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,286 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 9,696 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(5%) = 680,27
NPV(10%) = −41,32
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 5 + 5·680,27/(680,27 − (−41,32)) = 9,714%
exato: NPV(9,696%) = 0 → IRR = 9,696%
Resposta
IRR = 9,696%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 574,4 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €10,00, i = 0,045, N = 18
Valor presente dos cupons
€10,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €121,60
Valor presente do valor de face
€1 000·0,4528 = €452,80
Preço
P = €574,40
Resposta
P = €574,40
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTM = 6,477 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€910 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(6%) = €937,90, P(7%) = €880,57
YTM = 6,477%
Resposta
YTM = 6,477%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,786 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·10% + 0,2857·3%·(1 − 0,25) = 7,786%
Resposta
WACC = 7,786%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,459 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
1 500/(1 − 0,25) = €2 000
Unidades necessárias
Q = (7 500 + 2 000)/5 = 1 900
Resposta
Q = 1 900 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 4500 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).