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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €8 000 no final de cada ano durante 11 anos. A taxa de juros é 8% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €8 000i = 8%n = 11
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €150 no fim de cada mês durante 14 anos. A conta rende 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €1503% / 12N = 168
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €4 000, €5 000, €10 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €80 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €14 500 no final do ano 1 e cresce 3% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 6. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €80 000CF1 = €14 500g = 3%n = 6r = 12%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 5 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 3%) quando seu rendimento até o vencimento é 9%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 10,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 3%n = 5y0 = 9%y1 = 10,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 13 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) é vendido a €1 137. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 4 anos a um preço de resgate de €1 070. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%P = €1 137preço de resgate = €1 070resgate em 4 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,6. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 28%. Encontre o WACC.
D/E = 0,6re = 13%rd = 6%T = 28%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1,2. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 1. A alíquota de imposto é 25,8%, a taxa livre de risco é 3,5% e o prêmio de risco de mercado é 5%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 1,2D/E = 1T = 25,8%rf = 3,5%rm − rf = 5%
re = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €10 000 por ano e custo variável de €25 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €13 000 por ano e custo variável de €19 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €10 000vA = €25FB = €13 000vB = €19
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €20 por unidade, com custo variável de €18 por unidade e custos fixos de €2 400 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 920 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €2 400p = €20v = €18orçamento = 1 920
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 57112 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,4289)/0,08 = 7,139
Valor atual
PV = 8 000·7,139 = €57 111,71
Resposta
PV = €57 111,71
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 31270 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 4 000/1,09 = 3 669,72
CF2/(1 + 0,09)2 = 5 000/1,188 = 4 208,40
CF3/(1 + 0,09)3 = 10 000/1,295 = 7 721,83
Somar
NPV = €−4 400,04
Resposta
NPV = €−4 400,04
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −16352 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 3,677 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1137 = 70·(1 − (1 + y)−4)/y + 1070/(1 + y)4
Resolva numericamente
y = 4%: €1 168,73
y = 5%: €1 128,51
YTC = 4,785%
Resposta
YTC = 4,785%
O rendimento até o vencimento é 5,498%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,745 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·13% + 0,375·6%·(1 − 0,28) = 9,745%
Resposta
WACC = 9,745%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 13,95 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 1,2·(1 + 0,742·1) = 2,09
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 3,5% + 2,09·5% = 13,95%
Resposta
re = 13,95%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 500 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
10 000 + 25Q = 13 000 + 19Q
Resolver para Q
Q = (13 000 − 10 000)/(25 − 19) = 500
Resposta
Q = 500 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 37,5 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).