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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Você investe €2 000 a 7% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 8 anos.
PV = €2 000r = 7%t = 8
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €200 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 30 anos a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 13? Encontre o saldo devedor B.
P = €200 0007,2% / 12N = 360k = 156
B = €
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €80 000 hoje, dura 8 anos e custa €1 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 6%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.
C0 = €80 000M = €1 000n = 8r = 6%
EAC = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €50 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €14 000 no final do ano 1 e cresce 2% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 4. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €50 000CF1 = €14 000g = 2%n = 4r = 10%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% e vence em 10 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 4% para 3%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 3%n = 10y1 = 4%y2 = 3%
ΔP = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é 3,5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 8%n = 4YTM = 3,5%
D = anos
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC.
D/E = 1re = 9%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 0,7. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,75. A alíquota de imposto é 21%, a taxa livre de risco é 3,5% e o prêmio de risco de mercado é 4,5%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 0,7D/E = 0,75T = 21%rf = 3,5%rm − rf = 4,5%
re = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €12 por unidade com um custo variável de €4 por unidade. Os custos fixos são de €8 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €6 000?
F = €8 000p = €12v = €4lucro = €6 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende dois produtos. O produto A é vendido a €23 com custo variável de €15; o produto B é vendido a €27 com custo variável de €15. Eles são vendidos em um mix fixo de 4 unidades de A para cada 1 de B. Os custos fixos são €35 200 por mês. Encontre o número total de unidades Q (A e B juntos) necessário para atingir o ponto de equilíbrio.
pA = €23, vA = €15pB = €27, vB = €15A : B = 4 : 1F = €35 200
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 3501 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,07·8 = 0,56
e0,56 = 1,751
Valor futuro
FV = 2 000·1,751 = €3 501,35
Resposta
FV = €3 501,35
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: B = 159486 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 360 − 156 = 204
B = 1358·(1 − (1 + 0,006)−204)/0,006 = €159 486,03
Resposta
B = €159 486,03
3.VAL e TIR
Resposta: EAC = 13883 €
Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.
Fator de anuidade
(1 − 1,06−8)/0,06 = 6,21
Preço de compra anualizado
80 000/6,21 = 12 882,88
EAC
EAC = 12 882,88 + 1 000 = €13 882,88
Resposta
EAC = €13 882,88
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −4380 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente da anuidade crescente
((1,02)/(1,1))4 = 0,7393
PV = 14 000/(0,1 − 0,02)·(1 − 0,7393) = 45 619,75
NPV
NPV = 45 619,75 − 50 000 = −€4 380,25
Resposta
NPV = −€4 380,25
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = 81,11 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 80/1,035 = 77,29, t·PV = 77,29
t = 2: 80/1,071 = 74,68, t·PV = 149,36
t = 3: 80/1,109 = 72,16, t·PV = 216,47
t = 4: 1080/1,148 = 941,16, t·PV = 3 764,63
Duration
P = 1 165,29
D = 4 207,75/1 165,29 = 3,611
Resposta
D = 3,611 anos
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 5,9 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos a partir de D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9% + 0,5·3,5%·(1 − 0,2) = 5,9%
Resposta
WACC = 5,9%
8.CAPM e WACC
Resposta: re = 8,516 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 0,7·(1 + 0,79·0,75) = 1,115
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 3,5% + 1,115·4,5% = 8,516%
Resposta
re = 8,516%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 1750 unidades
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Ponto de equilíbrio com mix de vendas: quando os produtos são vendidos em uma proporção fixa, use a margem de contribuição média ponderada: pondere o p − v de cada produto pela sua participação em unidades. Unidades no ponto de equilíbrio = F/(margem de contribuição ponderada), divididas de novo na proporção do mix.