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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €1 000 no final de cada ano durante 8 anos. A taxa de juros é 6% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €1 000i = 6%n = 8
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €200 000 é pago em prestações mensais iguais durante 20 anos. A taxa de juro é de 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €200 0006% / 12N = 240
A = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €17 000, €16 000, €20 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €100 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €11 000 no final do ano 1 e cresce 4% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 9. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €11 000g = 4%n = 9r = 10%
NPV = €
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 10 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 4,5%) quando seu rendimento até o vencimento é 7%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 6%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4,5%n = 10y0 = 7%y1 = 6%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 7 anos e é vendido por €1 130. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 7P = €1 130
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €4 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €6 000 000 e custo do capital próprio de 10%. Sua dívida consiste em 4 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 10 anos até o vencimento) negociados a €923 cada. A alíquota de imposto é 28%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um produto vende-se a €26 por unidade com um custo variável de €6 por unidade. Os custos fixos são de €16 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €5 000?
F = €16 000p = €26v = €6lucro = €5 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende 5 000 unidades a €13 cada, com custo variável de €8 por unidade e custos fixos de €20 000. Em que porcentagem %ΔΠ o lucro operacional varia se o volume de vendas aumentar 12%?
Q = 5 000p = €13v = €8F = €20 000%ΔQ = +12%
%ΔΠ = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 6210 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,6274)/0,06 = 6,21
Valor atual
PV = 1 000·6,21 = €6 209,79
Resposta
PV = €6 209,79
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 1433 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·20 = 240
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,3021
A = 200 000·0,005/(1 − 0,3021) = €1 432,86
Resposta
A = €1 432,86
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −31296 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 17 000/1,1 = 15 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 16 000/1,21 = 13 223,14
CF3/(1 + 0,1)3 = 20 000/1,331 = 15 026,30
Somar
NPV = €−31 296,02
Resposta
NPV = €−31 296,02
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: NPV = −27331 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente da anuidade crescente
((1,04)/(1,1))9 = 0,6036
PV = 11 000/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,6036) = 72 669,09
NPV
NPV = 72 669,09 − 100 000 = −€27 330,91
Resposta
NPV = −€27 330,91
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 14,38 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 130 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Resolva numericamente
P(1%) = €1 201,85, P(2%) = €1 129,44
YTM = 1,992%
Resposta
YTM = 1,992%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,886 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·12% + 0,4286·3%·(1 − 0,2) = 7,886%
Resposta
WACC = 7,886%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,561 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Alavancagem operacional: os custos fixos fazem o lucro reagir mais fortemente que as vendas. O grau de alavancagem operacional DOL = margem de contribuição/lucro operacional indica que uma variação de 1% nas vendas muda o lucro em DOL %. Ele é muito alto logo acima do ponto de equilíbrio e diminui à medida que as vendas crescem.