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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €40 000 daqui a 7 anos. Uma conta rende 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €40 0003,6% / 12n = 7
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €12 000 a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €550 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €12 000A = €5507,2% / 12
N = pagamentos
3.VAL e TIRMédia
Uma máquina custa €80 000 hoje. Ela gera €16 500 no final de cada ano durante 6 anos e depois pode ser vendida por €16 000. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €80 000CF = €16 500S = €16 000n = 6r = 12%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um investimento de €80 000 retorna €28 500 no final de cada ano durante 3 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.
C0 = €80 000CF = €28 500n = 3
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 6 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) quando seu rendimento até o vencimento é 2,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 1,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 6y0 = 2,5%y1 = 1,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 8 anos e é vendido por €910. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 8P = €910
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €8 000 000 e dívida no valor de €1 000 000. Seu WACC é 7,5%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €8 000 000 e custo do capital próprio de 13%. Sua dívida consiste em 5 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 9 anos até o vencimento) negociados a €1 038 cada. A alíquota de imposto é 28%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um produto vende-se a €45 por unidade com um custo variável de €25 por unidade. Os custos fixos são de €30 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €5 000?
F = €30 000p = €45v = €25lucro = €5 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €29 por unidade, com custo variável de €25 por unidade e custos fixos de €4 800 por ano. As vendas orçamentadas são de 1 440 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €4 800p = €29v = €25orçamento = 1 440
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 31102 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·7 = 84
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,286 = €31 101,52
Resposta
PV = €31 101,52
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 24 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,006/550 = 0,8691
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,8691)/ln(1,006) = 23,45
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
23 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 24
Resposta
N = 24 pagamentos
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = −4056 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor presente dos fluxos de caixa anuais
16 500·4,111 = 67 838,22
Valor presente do valor residual
16 000/1,974 = 8 106,10
NPV
NPV = −80 000 + 67 838,22 + 8 106,10 = −€4 055,68
Resposta
NPV = −€4 055,68
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 3,4 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Fator de anuidade necessário
(1 − (1 + i)−3)/i = 80 000/28 500 = 2,807
Resolver para a taxa
O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.
i = 3%: 2,829
i = 4%: 2,775
IRR = 3,4%
Resposta
IRR = 3,4%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 6,826 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€910 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Resolva numericamente
P(6%) = €937,90, P(7%) = €880,57
YTM = 6,477%
Resposta
YTM = 6,477%
7.CAPM e WACC
Resposta: re = 8 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111
Parte da dívida no WACC
0,1111·5%·(1 − 0,3) = 0,3889%
Custo do capital próprio
re = (7,5% − 0,3889%)/0,8889 = 8%
Resposta
re = 8%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,876 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).