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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Uma anuidade paga €1 500 no final de cada ano durante 17 anos. A taxa de juros é 3% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.
A = €1 500i = 3%n = 17
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €300 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 25 anos a 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 17? Encontre o saldo devedor B.
P = €300 0003,6% / 12N = 300k = 204
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €50 000 hoje e retorna €14 000 no final de cada ano durante 5 anos. O custo de capital é 8%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €20 000 e devolve €13 500, €11 000, €14 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 13 500CF2 = 11 000CF3 = 14 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 4 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 2%) quando seu rendimento até o vencimento é 7%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 6%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 2%n = 4y0 = 7%y1 = 6%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 5 anos e é vendido por €1 090. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 5P = €1 090
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma ação com beta de 0,8 tem retorno exigido de 5,5%. A taxa livre de risco é 1,5%. Que retorno esperado do mercado rm o CAPM implica?
β = 0,8re = 5,5%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €23,00 cada e 40 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,5, a taxa livre de risco é 3,5% e o retorno do mercado é 10,5%. Calcule o WACC.
β = 1,5rf = 3,5%rm = 10,5%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto pode ser fabricado de duas maneiras. O método A tem custos fixos de €30 000 por ano e custo variável de €12 por unidade. O método B, mais automatizado, tem custos fixos de €54 000 por ano e custo variável de €6 por unidade. Em que volume anual Q os dois métodos custam o mesmo?
FA = €30 000vA = €12FB = €54 000vB = €6
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende dois produtos. O produto A é vendido a €13 com custo variável de €8; o produto B é vendido a €30 com custo variável de €15. Eles são vendidos em um mix fixo de 2 unidades de A para cada 3 de B. Os custos fixos são €11 000 por mês. Encontre o número total de unidades Q (A e B juntos) necessário para atingir o ponto de equilíbrio.
pA = €13, vA = €8pB = €30, vB = €15A : B = 2 : 3F = €11 000
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 19749 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,605)/0,03 = 13,17
Valor atual
PV = 1 500·13,17 = €19 749,18
Resposta
PV = €19 749,18
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: B = 126458 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 300 − 204 = 96
B = 1518·(1 − (1 + 0,003)−96)/0,003 = €126 457,71
Resposta
B = €126 457,71
3.VAL e TIR
Resposta: DPB = 4,381 anos
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 14 000/1,08 = 12 962,96 → Σ = 12 962,96
ano 2: 14 000/1,166 = 12 002,74 → Σ = 24 965,71
ano 3: 14 000/1,26 = 11 113,65 → Σ = 36 079,36
ano 4: 14 000/1,36 = 10 290,42 → Σ = 46 369,78
ano 5: 14 000/1,469 = 9 528,16 → Σ = 55 897,94
Fração do último ano
DPB = 4 + 3 630,22/9 528,16 = 4,381
Resposta
DPB = 4,381 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,571 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 41,4 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(40%) = 357,14
NPV(45%) = −865,55
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 40 + 5·357,14/(357,14 − (−865,55)) = 41,46%
exato: NPV(41,4%) = 0 → IRR = 41,4%
Resposta
IRR = 41,4%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 9,925 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 090 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Resolva numericamente
P(3%) = €1 137,39, P(4%) = €1 089,04
YTM = 3,98%
Resposta
YTM = 3,98%
7.CAPM e WACC
Resposta: rm = 6,5 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Prêmio de risco de mercado
rm − rf = (5,5% − 1,5%)/0,8 = 5%
Retorno do mercado
rm = 1,5% + 5% = 6,5%
Resposta
rm = 6,5%
8.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,377 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Custos totais iguais
30 000 + 12Q = 54 000 + 6Q
Resolver para Q
Q = (54 000 − 30 000)/(12 − 6) = 4 000
Resposta
Q = 4 000 unidades
Abaixo desse volume o método A é mais barato; acima dele o método automatizado B é mais barato.
10.Análise do ponto crítico
Resposta: Q = 1000 unidades
Ponto de equilíbrio com mix de vendas: quando os produtos são vendidos em uma proporção fixa, use a margem de contribuição média ponderada: pondere o p − v de cada produto pela sua participação em unidades. Unidades no ponto de equilíbrio = F/(margem de contribuição ponderada), divididas de novo na proporção do mix.