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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €10 000 daqui a 10 anos. Uma conta rende 3,6 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €10 0003,6% / 4n = 10
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €5 000 no início de cada ano durante 18 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 8% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 18? Encontre FV.
A = €5 000i = 8%n = 18
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €60 000 hoje e retorna €21 500 no final de cada ano durante 6 anos. O custo de capital é 8%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €40 000 e retorna €19 000, €16 500, €22 500 no final dos anos 1 a 3. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 10%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. O rendimento até o vencimento é de 7% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 5%YTM = 7%n = 11
P = €
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 20 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) é vendido a €1 249. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 6 anos a um preço de resgate de €1 070. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%P = €1 249preço de resgate = €1 070resgate em 6 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €59,50 cada e 5 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.
β = 1,8rf = 2%rm = 7%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto vende-se a €28 por unidade com um custo variável de €8 por unidade. Os custos fixos são de €40 000 por mês. Quantas unidades Q é preciso vender por mês para ter um lucro de €20 000?
F = €40 000p = €28v = €8lucro = €20 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Uma empresa vende dois produtos. O produto A é vendido a €9 com custo variável de €5; o produto B é vendido a €40 com custo variável de €25. Eles são vendidos em um mix fixo de 2 unidades de A para cada 3 de B. Os custos fixos são €10 600 por mês. Encontre o número total de unidades Q (A e B juntos) necessário para atingir o ponto de equilíbrio.
pA = €9, vA = €5pB = €40, vB = €25A : B = 2 : 3F = €10 600
Q = unidades
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 6988 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·10 = 40
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,431 = €6 988,01
Resposta
PV = €6 988,01
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 202231 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,08)18 − 1)/0,08 = 37,45
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 5 000·37,45·1,08 = €202 231,32
Resposta
FV = €202 231,32
3.VAL e TIR
Resposta: DPB = 3,291 anos
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 21 500/1,08 = 19 907,41 → Σ = 19 907,41
ano 2: 21 500/1,166 = 18 432,78 → Σ = 38 340,19
ano 3: 21 500/1,26 = 17 067,39 → Σ = 55 407,59
ano 4: 21 500/1,36 = 15 803,14 → Σ = 71 210,73
Fração do último ano
DPB = 3 + 4 592,41/15 803,14 = 3,291
Resposta
DPB = 3,291 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,791 anos).
4.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 16,74 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Valor terminal das entradas
19 000·1,12 = 22 990,00
16 500·1,11 = 18 150,00
22 500·1,10 = 22 500,00
TV = 63 640,00
MIRR
MIRR = (63 640,00/40 000)1/3 − 1 = 16,74%
Resposta
MIRR = 16,74%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 848,3 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €25,00, i = 0,035, N = 22
Valor presente dos cupons
€25,00·(1 − 0,4692)/0,035 = €379,18
Valor presente do valor de face
€1 000·0,4692 = €469,15
Preço
P = €848,33
Resposta
P = €848,33
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTC = 3,412 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1249 = 70·(1 − (1 + y)−6)/y + 1070/(1 + y)6
Resolva numericamente
y = 3%: €1 275,31
y = 4%: €1 212,59
YTC = 3,412%
Resposta
YTC = 3,412%
O rendimento até o vencimento é 5,002%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,507 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Ponto de equilíbrio com mix de vendas: quando os produtos são vendidos em uma proporção fixa, use a margem de contribuição média ponderada: pondere o p − v de cada produto pela sua participação em unidades. Unidades no ponto de equilíbrio = F/(margem de contribuição ponderada), divididas de novo na proporção do mix.