Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é o tempo de execução do radix sort LSD para n inteiros com d dígitos na base k?

  1. AO(n log n)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

A multiplicação de Karatsuba satisfaz T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual é a solução?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
  4. DΘ(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Como se encontra a menor chave em uma árvore binária de busca?

  1. ASeguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
  2. BOlhando apenas a raiz
  3. CVisitando todas as folhas e comparando-as
  4. DSeguindo os filhos direitos a partir da raiz até não haver filho direito
4.Estruturas de dadosDifícil

Sob hashing uniforme simples, qual é o tempo esperado de uma busca em uma tabela hash com encadeamento, n chaves e m buckets?

  1. AO(m)
  2. BO(1 + α), em que α = n / m
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
91317371410642ABCDEFG

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 5; as arestas descartadas não contam.

k = 5
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta DF
  8. 8aresta GB
  9. 9aresta GC
  10. 10aresta GD

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(d(n + k))

Porque é esta a resposta

Cada uma das d passadas é um counting sort de custo O(n + k), então, para d e k fixos, o total é linear em n.

Resposta

C · O(d(n + k))
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585

Porque é esta a resposta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, as folhas dominam pelo teorema mestre, superando o método escolar O(n²).

Resposta

C · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo

Porque é esta a resposta

O nó mais à esquerda não tem chave menor na árvore, então é o mínimo; o custo é proporcional à altura.

Resposta

A · Seguindo os filhos esquerdos a partir da raiz até não haver filho esquerdo
4.Estruturas de dados

Resposta: B · O(1 + α), em que α = n / m

Porque é esta a resposta

Calcular o hash custa O(1) e o comprimento esperado da cadeia é α, então manter α limitado por redimensionamento dá tempo esperado O(1).

Resposta

B · O(1 + α), em que α = n / m
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Vértices ímpares

A, C → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta AB

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. GD (2)
2. BD (3)
3. GC (4)
4. CE (7)
5. AB (9)
6. DF (10)

número da aresta 5

AB

Resposta

aresta AB

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