Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que a programação dinâmica não traz ganho real de velocidade para o merge sort?

  1. AO merge sort não tem estrutura recursiva
  2. BA programação dinâmica só funciona em problemas de grafos, não em vetores
  3. CSeus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar
  4. DO merge sort já é O(n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

A multiplicação de Karatsuba satisfaz T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual é a solução?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
  4. DΘ(n log n)
3.Estruturas de dadosMédia

Uma tabela hash de tamanho 7 usa h(k) = k mod 7 e sondagem linear. Depois de inserir 10, onde 17 é armazenado?

  1. ANo índice 6
  2. BNo índice 4
  3. CNo índice 0
  4. DNo índice 3
4.Estruturas de dadosDifícil

Em um buffer circular, front == rear pode significar vazio ou cheio. Qual é uma forma comum de distinguir os dois casos?

  1. AGuardar front e rear na mesma variável
  2. BFazer o tamanho do buffer ser uma potência de dois
  3. CManter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
  4. DSempre limpar o buffer quando front for igual a rear, de modo que o estado seja vazio
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
7341191816819ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Seus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar

Porque é esta a resposta

As metades do merge sort são disjuntas e cada uma é resolvida uma vez; a PD só ajuda quando os subproblemas se repetem, como no Fibonacci.

Resposta

C · Seus subproblemas não se sobrepõem, então não há nada para reaproveitar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585

Porque é esta a resposta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, as folhas dominam pelo teorema mestre, superando o método escolar O(n²).

Resposta

C · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
3.Estruturas de dados

Resposta: B · No índice 4

Porque é esta a resposta

10 mod 7 = 3 e 17 mod 7 = 3; o índice 3 está ocupado, então a sondagem linear tenta a próxima posição, o índice 4.

Resposta

B · No índice 4
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso

Porque é esta a resposta

Com uma contagem, vazio significa count = 0 e cheio significa count = capacidade; com uma posição vazia, cheio é definido como (rear + 1) mod n == front.

Resposta

C · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices ímpares

A, D → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 35

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

AC (3): tomar
BC (4): tomar
AB (7): descartar, fecha um ciclo
EF (8): tomar
CE (9): tomar
BD (11): tomar

Peso total

W = 3 + 4 + 8 + 9 + 11 = 35

Resposta

W = 35

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