Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual afirmação sobre uma função recursiva sem caso base alcançável está correta?

  1. AEla retorna 0 automaticamente
  2. BEla roda em tempo O(1)
  3. CO compilador sempre a transforma em um laço que termina com segurança
  4. DEla continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Quais são os custos de tempo e espaço de calcular o n-ésimo número de Fibonacci com um laço que guarda só os dois últimos valores?

  1. ATempo O(log n) e espaço O(n)
  2. BTempo O(n) e espaço O(1)
  3. CTempo O(2ⁿ) e espaço O(1)
  4. DTempo O(n) e espaço O(n)
3.Estruturas de dadosMédia

As chaves 50, 30, 70, 20, 40 são inseridas nessa ordem em uma árvore binária de busca vazia. Qual é o filho esquerdo de 30?

  1. A70
  2. B20
  3. C50
  4. D40
4.Estruturas de dadosDifícil

Como uma radix tree (trie compactada) melhora uma trie simples?

  1. AOrdena os filhos de cada nó por frequência
  2. BFunde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
  3. CGuarda só a primeira letra de cada palavra
  4. DArmazena cada palavra em uma tabela hash na raiz em vez de em nós separados
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 3, 3 vértices de grau 4, 3 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em D? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar

Porque é esta a resposta

Sem caso base, a recursão nunca para; na prática, a memória para os quadros de pilha se esgota e o programa trava.

Resposta

D · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Tempo O(n) e espaço O(1)

Porque é esta a resposta

Cada passo precisa só dos dois valores anteriores, então a tabela do método bottom-up pode ser substituída por duas variáveis.

Resposta

B · Tempo O(n) e espaço O(1)
3.Estruturas de dados

Resposta: B · 20

Porque é esta a resposta

20 é menor que 50 e menor que 30, então se torna o filho esquerdo de 30; 40 se torna o filho direito.

Resposta

B · 20
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string

Porque é esta a resposta

Compactar caminhos sem ramificação reduz o número de nós e a memória usada, mantendo a busca por prefixo.

Resposta

B · Funde cadeias de nós com um só filho em uma aresta rotulada com uma string
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 20

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 36 = 2(L + 9) − 2
L = 20

Resposta

L = 20

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)DD = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 2

Resposta

N = 2

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